— 593 — 



La réponse est affirmative : M. Levi-Civita l'a démontré dans un cas 

 particulier (Mémoire cité, chap. 2) et M. E. E. Levi dans le cas general 

 (Comptes-Rendus, 1911, tom. 153, pag. 799). 



La méme question, sous une forme bien differente, avait été résolue 

 par H. Poincaré, dans le chapìtre XV de son célèbre Mémoire « Sur les 

 courbes définies par les équations différentielles » (Journal de mathéma- 

 tiques, 4 ème sér. tom. 1., 1885, p. 220). 



De plus, l'illustre géomètre a mis en évidence les relations entre les 

 solutions périodiques de (1) et le nombre et a proposé l'étude de ce 

 nombre considéré comme fonction des coefficients de l'équation (1). 



La présente Note se rapporte à ces derniers problèmes; son principal 

 objet est une représentation géométrique mettant en évidence l'intérét du 

 nombre fi pour l'étude de la distribution des diverses solutions périodiques 

 d'une équation 



(2) ^=F(<M,2), 



de méme nature que (1), mais dont les coefficients dépendent d'un paramètre 

 variable A. 



1. — Revenons d'abord à l'équation (1), dont nous supposons le second 

 nombre entiòrement déterminé. On peut admettre que les périodes de f(6 , t) 

 par rapport à 6 et par rapport à t sont égales à 2n. 



Nous représentons géométriquement les solutions de (1) par des cara- 

 ctéristiques tracées dans un pian rapporté à deux axes rectangulaires Ol , 00. 

 Ces caractéristiques s'échangent entre elles par les transformations du groupe 

 discontinu G constitué par les translations amenant l'origine 0 aux points 

 dont les deux coordonnées sont des multiples de 2n. 



La caractéristique passant par le point A 0 (0 , a) de l'axe 06 rencontre 

 la droite t = 2?m en un point A„; le coefficient angulaire m„ («) de la 

 droite A 0 A n , joue dans la suite un róle important. 



La démonstration, donnée par H. Poincaré, de l'existence du moyen 

 mouvement asymptotique fi montre que m„ (a) et fi ont méme valeur appro- 



chée à - près par défaut. 



n 



Si fi est un nombre ralionnei -, il existe des solutions telles qu'on 



s 



ait: g>(t) + 2rn == g>(t + 2stt). 



Ces solutions sont donc^des solutions périodiques, le mot étant entendu 

 au sens large que lui a donné H. Poincaré (Méthodes nouvelles, tom. I, p. 80) ; 

 panni les caractéristiques correspondantes, il en est qui admettent les transfor- 

 mations d'un sous-groupe de G. Toutes les solutions peuvent ótre périodiques; 

 s'il en est de non périodiques, elles sont asymptotes à une solution pério- 



