dique. Avec la représentation des caractéristiques sur un tore dont H. Poin- 

 caré fait usage, il correspond un cycle à une solution périodique, et un 

 cycle limite à une solution périodique isolée. Réciproquement si (1) admet 

 une solution périodique, fx est rationnel. 



2. — Considérons rnaintenant l'équation (2), dont les coefficients dépen- 

 dent du pararnètre X. Nous supposerons que si X varie dans un intervalle, 

 d'où nous ne le ferons pas sortir, cette équation jouit des mèmes propriétés 

 que l'équation (1). Nous admettrons méme que F (0, t, X) est une fonction 

 analytique. 



La caractéristique issue du point A 0 (0, a) coupé la droite t = 2nn 

 (n entier) en un point appelé plus haut, A„, qui varie rnaintenant avec X ; 

 désignons donc par m n (a , X) le coefficient angulaire de la droite A 0 A„. 

 Nous représenterons la variation de m n (a , X) par une surfaee S n dont 

 l'équation, rapportée à trois axes rectangulaires Oa,OX,Os, sera s = m n (a,X). 



Cette surfaee se transforme en elle méme par la translation parallèle 

 à Oa d'amplitude 2n. C'est d'ailleurs une surfaee analytique, ainsi que le 

 montre un théorème de Poincaré (Méthodes nouvelles, tom. 1, pag. 58). Si le 



pian s = - (p étant entier) coupé la surfaee S„ suivant une ligne réelle G pn , 



cette courbe est une ligne analytique. À chacun de ses points correspond un 

 système de valeurs de a et de X, une équation (2) et une caractéristique 

 bien déterminées ; cette caractéristique admet l'ime des transformations de G : 

 elle correspond donc à une solution périodique pour laquelle le moyen mou- 



vement asymptotique fi = ^. 



D'ailleurs, lorsque p = 0, la courbe C p;ì en question est identique à 

 celles considérées par Poincaré dans la reckerche des solutions périodiques 

 (au sens restreint du mot) de l'équation (2). 



En méme temps que la surfaee S, 4 , nous considérerons la surfaee 2 

 défmie par s = fi{X), qui représente la variation du moyen mouvement 

 asymptotique en fonction de X et de a. Comme il ne dépend pas de a, cette 

 surfaee est cylindrique, les génératrices sont parallèles à Oa. 



La distance des deux points de rencontre de S„ et de 2 avec une méme 



parallèle à Oz est inférieure à -; la surfaee analytique S„ tend donc uni- 



TV 



formément vers 2 lorsque - tend vers zèro; /.i(X) est donc une fonction con- 



n 



tinue, comme Poincaré l'avait annoncé; mais n'est pas nécessairement ana- 

 lytique. 



Ainsi, pour l'équation 



^ = 1 + X cos 6 , 



