— 595 — 



qui s'intègre immédiatement, fi (X) est égal à j/l — A 2 pour \X\<C 1; il est 

 nul pour |A|^>1: La section droite de la surfaee cjdindrique se compose 

 d'un deuii-cercle et des deux prolongeuients du diamètre qui le limite. 

 Toute ligne est située sui- 2; si elle n'est pas formée de parallèles 



P 



à l'axe 0<x , il lui correspond une ou plusieurs bandes B pn du pian 2 ~- 



limitées par des parallèles à cet axe et faisant partie de 2. Réciproquement, 



P 



k une telle bande, située sur un pian s = - de cote rationnelle, il cor- 



n 



respond nécessairement une courbe et une famille de solutions périodì- 

 ques. Il peut arriver que soit composée de parallèles à l'axe Occ ; il n'y 

 a plus lieu de parler de bandes B pn , leur largeur étant alors nulle. 



L'existence de lignes G pn ainsi constituées, qui paraìt si vraisemblable 

 au premier abord, est-elle une conséquence nécessaire de ce qui précède? je 

 ne saurais le dire. Mais, par contro, il est bien évident quii existe des 

 bandes B pn aussi étroites qu'on le veut (c'est à dire que la différence des 

 valeurs extrèmes de X correspondant à la bande, est arbitrairement petite). 

 On écarte, bien entendu, le cas où le moyen mouvement asymptotique reste- 

 rait Constant dans l'intervalle de variation de X. 



Les valeurs /x Q et de fx(X) pour X = X 0 et X = X x , étant supposées 

 différentes, soit, pour fixer les idées, p 0 < Cl J 'i- 



La surfaee analytique S„ coupé les plans X == A 0 et X ■ = X t suivant des 



courbes r et r\. Pour tous les points de r o 011 a £<,u 0 -{-^ et, pourceux 

 à.Q r u [ti — ^; et si n est assez grand, il existe un entier p tei que 



fi 0 <-<A*i + -• 



n n n 



Coupons alors S„ par un pian a = constante : l'intersection coupé le 

 P 



pian g — -. Il existe alors des solutions periodiques pour lesquelles les 



nombres r et s du n° 1 sont égaux à p et à n, et pour lesquelles la valeur 

 initiale de 0 a une valeur arbitrairement donnée à l'avance. 



Il suffit de connaìtre {d'une fagon exacte ou sufflsamment approchée) 

 une solution de chacune des équations parliculières obtenues en remplagant 

 dans (2) X par X Q et par X\, pour pouvoir s'assurer que les valeurs cor- 

 respondantes, ^ 0 et fi x , du moyen mouvement asymptotique n, sont différentes. 



S'il en est ainsi, on pourra, en résumé, affirmer l'existence d'une 

 infinité de familles à un paramètre de solutions periodiques, pour l'équation 

 generale (2). Parmi celles-ci il en est qui différent aussi peu qu'on le veut 

 de familles où toutes les solutions sont periodiques, quelles que soieni les 

 valeurs initiales de ces solutions. 



