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Matematica. — Sopra alcune applicazioni della teoria della 

 chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali. Nota del dott. Lucio 

 Silla, presentata dal Socio Y. Volterra. 



Le ultime ricerche del prof. Lauricella, intorno ai sistemi di funzioni 

 ortogonali, all'equazione integrale di prima specie e alle funzioni permutabili 

 del prof. Volterra, avendo dato luogo di recente a notevoli lavori ('), saranno, 

 a nostro avviso, feconde di nuovi ed importanti risultati, sopratutto se ta- 

 luno, interpretando il comune desiderio, ne agevolerà al più presto lo studio 

 ripubblicandole in una Memoria riassuntiva che il compianto Autore non 

 ebbe agio di fare. 



Ci proponiamo, per ora, di mostrare che la teoria stabilita nella Nota 

 Sulla chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali, ecc. ( 2 ) permotte, come 

 il Lauricella stesso affermava nel proemio, di trovare utili applicazioni per 

 gli sviluppi delle funzioni in serie di funzioni ortogonali e per la risoluzione 

 dell'equazione integrale di prima specie a limiti costanti. 



1. Sia 



(<Z>) y^x) , <p 2 (x) , ... , (fi(x) , ... 



un sistema finito o infinito (numerabile) di funzioni ortogonali in un certo 

 intervallo (ab); le y>i{x) , <ft{%) , . . . siano, cioè, sommabili (integrabili, nel 

 senso del Lebesgue) insieme con i loro quadrati e con i loro prodotti due 

 a due in quell'intervallo, e tali che si abbia: 



I 



(Pi(x)<pj(x) dx = ^ 1 .^J. 



Il sistema <P è detto chiuso se le equazioni integrali : 

 (1) Ce{a;) (fi{x) dx = 0, (« = 1,2,3, ...) 



J a. 



non ammettono alcuna soluzione effettiva 6(x) , cioè non sono eventualmente 

 soddisfatte che da funzioni 6(x) diverse dallo zero tutto al più in un insieme 



(') Cfr., per esempio, le Note: del prof. E. Daniele, Sui nuclei che si riproducono 

 per iterazione [Rendic. del Circolo mat. di Palermo, tom. XXXVII (1914), pp. 262-266]; 

 e del prof. C. Severini, Sulle equazioni integrali di prima specie del tipo Fredholm 

 [Rendic. della R. Acc. dei Lincei, serie 5 a , tom. XXIII (1914), pp. 219-225]. 



( a ) Rendic. della R. Acc. dei Lincei, ser. 5 a , tom. XXI (1912), pp. 675-685. 



