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di punti di misura nulla. Se, invece, esistono soluzioni effettive delle equa- 

 zioni (1), il sistema cP sarà detto aperto ( l ). 



Nel caso di un sistema <P aperto, il Lauricella ha dimostrato ( 2 ) che 

 si può sempre, ed in un modo solo, costruire un sistema finito, o infinito 

 e numerabile, di funzioni ortogonali: 



(M) (jii(x) , fi z (x) , ... , ... , 



che egli ha chiamato sistema complementare di <P, in guisa che il sistema 

 totale che ne risulta : 



Sì = <t> -J- M — <f> x (x) , <p*{x) , ... , (ii{x) , , ... 



sia ortogonale e chiuso. 



2. Gioverà ora richiamare un teorema che ha una speciale importanza 

 per le questioni che interessano i sistemi di funzioni ortogonali e la soluzione 

 dell'equazione integrale di prima specie a limiti costanti, e che si può de- 

 nominare di Fischer- Weyl ( 3 ). 



Sia proposta la successione: 



(2) ft(aO , f*{%) , . • 



di funzioni sommabili nell'intervallo (ab) insieme con i loro quadrati: di- 

 remo che quella successione è convergente in media se si ha: 



lim f | f m (x) — f n (x)\ 2 dx = 0. 



m ,n = &J a 



Diremo poi che la successione (2) converge in media verso la fun- 

 zione f(x), se è soddisfatta la condizione: 



lim \ b \f{x) — /\{x)\ 2 dx = Q. 



Ciò premesso, il teorema di Tischer-Weyl si può enunciare così : Se la 

 successione (2) è convergente in media, è sempre possibile (ed in infiniti 

 modi diversi) estrarre dalla (2) una successione parziale : 



(3) f ni (x) , f mt (x) , f ni {x) , ... , 



(') Per maggiore esattezza di terminologia, preferiamo adottare questa locuzione in 

 luogo dell'altra non chiuso. 



( a ) Nella Nota precedentemente citata: Sulla chiusura dei sistemi di funzioni or- 

 togonali, ecc. 



( 3 ) Cfr. E. Fischer, Sur la convergence en moyenne (Comptes-rendus de PAcadémie 

 des Sciences, tom. CXLIV, 1° sem., 1907, pp. 1022-1024); H. Weyl, Ueber die Konver^ 

 genz von Reihen die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten (Math. Ann., tom. LXVII, 

 1909, pp. 225-245) e G. Lauricella, Sulla risoluzione dell'equazione integrale di 1 & specie 

 (Rend. della R. Acc. dei Lincei, serie 5 a , tom. XX, 1911, pp. 528-536). 



