dove %s%;»' 3 ,... sono numeri interi, positivi e crescenti, la quale con- 

 verge uniformemente in generale ( l ) nell' intervallo (ab) verso un' unica fun- 

 zione f(x) determinata in tutto (ab) (eccetto, al più, i punti di un insieme 

 di misura nulla) e sommabile col suo quadrato in quell'intervallo. Inoltre 

 la successione (2) converge in media verso la funzione f(x), e si può pure 

 scrivere : 



(4) f[x) = f ni (x) + U»X X ) - A»] + [fnjx) - f n ,(x)l + • • ■ 



3. Teorema I : se F (x), come pure il suo quadrato e il suo prodotto 

 per una qualunque delle funzioni tp(x) del sistema sono funzioni som- 

 mabili nell'intervallo (ab), e se, inoltre, 4> è un sistema chiuso, è sempre 

 possibile sviluppare F(x) in una serie di funzioni cp(x) che converge uni- 

 formemente in generale nell'intervallo (ab), secondo il teorema di Fischer - 

 Weyl. 



Ci limiteremo soltanto ad indicare la dimostrazione di questo teorema, 

 rinviando per i particolari ad una precedente Nota ( 2 ). 

 Siano : 



U = 1 ,2,3,...) 



i cosidetti coefficienti di Fourier della funzione F(x) relativi alla succes- 

 sione <Z>; posto: 



(5) fj(x) = f , at <pi(x) . (./=1,2,3, ...), 



i 



si dimostra che la successione (5) è convergente in media; quindi, per il 

 teorema di Fischer- Weyl, la successione convergerà in media verso una 

 unica funzione F x (x) tale che, applicando la forinola (4), si potrà scrivere: 



«i n., 



f x {x) = Y; ai (fi(x) 4- j_i a-, (fi(x) -| , 



i »i+i 



dove, beninteso, la serie del secondo membro è uniformemente convergente 

 in generale nell' intervallo (ab) considerato. 

 Ora, poiché : 



F x (x) ifi(x) dx = a t , 



f 1 ) È una locuzione del Weyl; s'intende che, indicata con s una quantità positiva 

 ad arbitrio, la successione (3) convergerà in egual grado in un intervallo C £ (appartenente 

 ad (ab) e la cui misura non è inferiore a b-a-s) verso una funzione f(x). 



( 2 ) Cfr. la nostra Nota: Sulla propagazione del calore (Rend. della E. Acc. dei 

 Lincei, serie 5 a , toni. XXI, 1912, pp. 441-447). 



