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sarà : 



rb 



F(#) — F,(#)| g>i(x) dx = 0; 



quindi F(x)=F 1 (x), essendo <P un sistema ortogonale chiuso. 



4. Teorema II. Se F(#) è una funzione che soddisfa alle condizioni 

 enunciale nel precedente teorema e, dippiù, il suo prodotto per una qua- 

 lunque delle funzioni fi(%) del sistema M, complementare del sistema <P, 

 è sommabile nell'intervallo (ab); se, inoltre, <P è un sistema ortogonale 

 aperto, la condizione necessaria e sufficiente affinchè ¥(x) sia sviluppabile 

 in serie di funzioni <fi(x) , uniformemente convergente in generale nell'in- 

 tervallo (ab), a norma del teorema di Fischer- We/jl, è che si abbiano : 



(6) C~F(x)in(x)dx = 0. (2 = 1,2,3,...) 



J a 



Dimostriamo che la condizione è necessaria. Supponiamo, pertanto, che 

 si sia trovato : 



«! ìli, 



(7) ¥{x) = fi ai g>i(x) + X* * 9i( x ) H 



dove le ai sono i coefficienti di Fourier di F(x) rispetto alle funzioni g>i(x) 

 del sistema <P ed n t , n ? ,, ... indicano numeri interi, positivi e crescenti: 

 la serie del secondo membro è, inoltre, supposta convergente uniformemente 

 in generale nell'intervallo (ab). Moltiplicando ambi i membri della (7) per 

 Pj(x) e integrando per serie, fra i limiti a e b, si ha: 



ri «< rb 



I F(#) (ij(x) dx = ai fij(x) (fi (x) dx -f- ••• = 0 , (j = 1 , 2 , 3 , ...) 



J a i J a 



giacché si è tenuto conto che le funzioni <fi(x) e (ij(x) costituiscono un 

 unico sistema ortogonale (n. 1). 



Dunque la condizione (6) è necessaria. 



Ci rimane da provare che quella condizione è sufficiente, vale a dire 

 che, supposto siano soddisfatte le (6), la ~F(x) è suscettibile dello sviluppo (7). 

 Costruiamo, a tal uopo, la successione seguente: 



tti{x) , &i(x) , ... , cOj{x) = y_ t ai tfi(x) , ... : 



si dimostra, con un metodo già noto ('). che questa è convergente in media; 



C) Cfr. la nostra Nota già citata. 



