quindi, pel teorema di Fischer- Weyl, esisterà una funzione G(x) verso la 

 quale la successione convergerà in media, e tale che si avrà : 



(8) G(x) = £• at <Pi{x) + % a, ?,(*) + • ■ • O : 



la serie del secondo membro converge, inoltre, uniformemente in generale 

 nell' intervallo (ab). 



Ora, integrando per serie, dalla (8), si ottiene: 



f G{x) <pj{x) dx = ctj . 



' a 



E, poiché si è posto : 



risulterà 



f 9j{x) dx = aj , 



J a 



\ b \G{x) — <pj{x) dx = 0. 



J a 



D'altra parte, dalla (8), moltiplicando per fij(x) e integrando per serie 

 fra a e b, abbiamo, a causa della ortogonalità del sistema Sì = <P -f- M 



f G(x) Hj(%) dx = 0 . 



J a 



Ma, per ipotesi, sussistono la (6); dunque avremo pure: 

 V\G{x) — F(x)\ nj(x) dx = 0. 



J a 



Ora, poiché M è il sistema complementare di <P , = <P -f- M è un sistema 

 chiuso e dobbiamo perciò concludere che ~F(x) = G(x). 



5. I risultati precedenti trovano utili applicazioni nell'equazione inte- 

 grale di prima specie : 



(9) g(x) = Ck(x , y) h{y) dy , 



J a 



dove g(x) è una funzione data, K(x,y) è il nucleo dell'equazione inte- 

 grale, pur esso noto, e h(y) è la funzione incognita. Come è noto, per la 

 teoria dello Schmidt ( 2 ), esiste una serie finita od infinita (numerabile) di 

 coppie di funzioni ortogonali 



(') S' intende che i numeri «, ,w 2 . . . non sono propriamente quelli della formola (7). 

 ( a ) E. Schmidt, Zur Theorie der linearen uni nicht lineami Integralgleichungen 

 (Math. Ann., tom. 63, 1907, pp. 433-476). 



