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tali che : 



*J a J a 



dove X x , A 2 , . . . costituiscono una successione di costanti positive che, se 

 infinita, ha il solo punto limite A = 00 . 



Ora se il nucleo K(x , y) è aperto rispetto alle x , se cioè il sistema <P 

 è aperto, talché le equazioni integrali (1) ammettono soluzioni 0(x) effet- 

 tive, per l'esistenza di una soluzione della (9) debbono essere soddisfatte 



00 



due condizioni (*): a) che la serie ^ ali) converga, essendo: 



1 



«< = f <Pi{x)dx ; 



■-'a 



è) che g{x) sia sviluppabile in serie di funzioni y>i{x) con i coefficienti a t -. 

 Ebbene, in base al teorema II (n. 4) possiamo sostituire alla condizione (b) 

 l'altra, in modo cioè che si abbia: 



(10) P \{x) fn{x) dx = 0 , (i = 1,2 , ...) 



•J a 



dove le fii (x) , (i t (x) , . . . costituiscono il sistema complementare di <P . 



6. Il Lauricella ha dimostrato ( 2 ) che, alla condizione (b) si può sosti- 

 tuire l'altra equivalente : 



(11) Cg(x) d(x) 



J a 



dx = 0 



che deve essere soddisfatta da tutte le funzioni 6{x) che sono soluzioni 

 delle (1). Ora è facile dimostrare che le condizioni (10) e (11) sono sosti- 

 tuibili l' una all' altra. Infatti, se sussistono le (10) possiamo scrivere 

 (n. 4), che 



g( x ) — «( <*><(#) + Zi a i 90) H — ; 



donde, moltiplicando per d{%), e integrando per serie fra a e b, risulta: 



J~b «1 rb 

 g(x) 6(x) dx = Yi ai 6(x) <f>i(x) dx-\ = 0 , 

 a 1 J a 



giacché 6(x) è, per ipotesi, una soluzione effettiva di (1). 



(') Cfr. Vi. Lauricella, Sull'equazione integrale di 1" specie (Rend. della R. Acc. 

 dei Lincei, serie 5 a , tom. XVIII, 1909, pp. 71-75). 

 ( a ) Nella Nota ora citata. 



