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Reciprocamente: siano verificate le (11), per ogni funzione 6{x) che sia 

 soluzione effettiva delle (1). In tal caso, posto : 



fa = f 6(x) (fi{x) dx , 

 6(x) = 2.,- fa hì(x) -f- 2j Ai ji*i(a;) H ; 



si deve avere: 



V 



/ 1 



donde, moltiplicando per <?(a;), e integrando per serie, si avrà: 



rb «i rb 



0 = I g(x) 6(x) dx = 2jt fa I #(#) (ii{x) dx + • • ■ 



V 0 1 «va 



Dunque deve essere: 



f dx = 0 . (i' = 1,2, ...) 



Risulta, pertanto, chiaramente spiegato perchè la condizione (b) e la (11) 

 sono sostituibili l'una all'altra : esse, infatti, equivalgono entrambe all'unica 

 condizione (10). 



7. Vogliamo, da ultimo, fare un'osservazione relativa all'equazione inte- 

 grale di prima specie (9). 



Se il nucleo K(x , y) è aperto rispetto alle x, occorre che le condizioni 

 (a) e (b) siano soddisfatte per l'esistenza di una soluzione hi(y) della (9) 

 e allora si ha ( l ) : 



n, n 3 I rb \ 



*i (y) = Z< a i l i (y) + Z«- ai (y) H — ( = ^ ) dx 



La soluzione A,(j/) sarà poi unica solo nel caso in cui il nucleo K(x , y) 

 risulti tftoso rispetto alle y (*). 



Se, invece, il nucleo K(x , y) è aperto rispetto alle y ; se, cioè, vi sono 

 soluzioni effettive g(y) dell'equazione : 



(12) f b K(x , y) Q {y) dy = 0 , 



•Va 



o, ciò che fa lo stesso, delle equazioni: 



(13) C(>(y)fi(y)dy = o, (* = 1,2,...) 



( l ) 6. Lauricella, Sulla risoluzione dell'equazione integrale di 1" specie (Eendic. 

 della E. Acc. dei Lincei, serie 5 a , tom. XX, 1911, pp. 528-536). 



( a ) Cfr. la nostra Nota: Sui 'sistemi di equazioni integrali di l a specie (idem, 

 serie 5», tom. XXII, 1913, pp. 13-20). 



