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tari considerazioni iperspaziali che gli spazi 2 t , 2 2 , ... , 2^ non hanno 

 punti comuni. È questa un'osservazione che ci gioverà al n. 8. 



Dico ora che per dimostrare il teorema I, basta limitarsi a considerare 

 il caso in cui i fi -\- 1 sistemi A , A, ... . A,,. , sono a fi a fi indipendenti. 

 Supponiamo, perciò, che il teorema sia già stato dimostrato sotto questa con- 

 dizione, e si consideri il caso in cui la condizione stessa non è soddisfatta. 

 Allora lo spazio A s'appoggerà a qualcuno degli spazi 2 1 , 2 2 , ... , 2^. Si 

 appoggi, p. es., a 2^, e sia A' lo spazio a q' — 1 (q' < q) dimensioni, inter- 

 sezione di A e di 2 [L . Avremo entro al sistema regolare 2^, congiungente 

 dei sistemi indipendenti Ai , A 2 , ... , A^-, , un sistema regolare A', indi- 

 pendente da ciascuno di essi. Se i fi sistemi A' , A, , ... , A^, sono a fi — 1 

 a fi — 1 indipendenti, si potrà applicare il teorema I; se no, si proseguirà 

 similmente, passando da fi sistemi a fi — 1, e così via. 



Si perverrà infine ad un sistema regolare A (J) , di dimensione q& — 1, 

 contenuto in A, e a cui sarà applicabile il teorema I, per modo che A c,) 

 apparterrà ad un'infinità discontinua di sistemi aualoghi. 



Detto un complementare di A'-'' in A . i sistemi che congiungono 

 B y> con quelli della suddetta infinità discontinua, saranno altrettanti sistemi 

 regolari di dimensione oo*- 1 . E il teorema I risulterà pertanto stabilito, 

 anche a prescindere dalla restrizione posta. 



Esaminiamo dunque il caso in cui gli spazi A , A, , ... , A^ sono a fi 

 a fi indipendenti. Da ogni punto di A esce allora ( 2 ) uno, ed un solo spazio, 

 Sjj.-,, appoggiato ulteriormente in un punto ad A, , A 2 , ... A^. Fissato uno, C, 

 di questi ce?- 1 Su._, , su esso, A, A, , . . , A^ segnano rispettivamente + l 

 punti indipendenti a , «, , ... , oy, i quali possono assumersi come base di 

 una rete di Mobius di specie fi — 1 ; ed è chiaro che gli spazi dedotti da 

 A , A, , ... , A„. con operazioni interne di proiezione e di sezione, restano 

 biunivocamente coordinati alle loro traccie su C, cioè agli spazi S 0 ,S! , ... , S ( j._ 2 , 

 appartenenti alla suddetta rete. Cosicché quegli spazi risultano in numero 

 infinito come queste traccie. In particolare, agi' infiniti vertici della rete re- 

 stano coordinati infiniti S 9 _i , rappresentanti altrettanti sistemi regolari. 



Resta così dimostrato il teorema I, e si vede inoltre come gl'infiniti 

 sistemi regolari oo? _1 , deducibili dai fi -j- 1 sistemi dati, possan coordi- 

 narsi biunivocamente ai vertici di una rete di Mobius di specie fi — 1 . 



Ciò dà l'esatta struttura dell' infinità discontinua formata dai sistemi 

 regolari co^~ l , appartenenti alla nostra varietà: gli elementi di quell'infi- 

 nità sono infatti assimilabili ai punti razionali di uno spazio S^_! . 



( l ) Cfr., p. es., Bertini, Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi, ecc. 

 (Pisa, Spoerri, 1907), pp. 12-13. Qui, veramente, si considera lo spazio comune alle proie- 

 zioni di 2 t , ... ,2^ da un generico punto di K. Ma, nel caso nostro, vale lo stesso ra- 

 gionamento. 



( a ) Ved. Bertini, loc. cit. 



