rispettivamente a V (9) , V (n , ... , V ( (*\ Indichiamo con A,,.,. , i sistemi 

 conghingenti rispettivamente di Ci , Dj ; ... ; C^, . Allora i /t-f-1 sistemi 

 A(= D) , A, , ... , Ajj. saranno a fi a fi indipendenti, ed il loro sistema con- 

 giungente, il cui complementare è C, avrà la dimensione 2q ti — 1. La <P 

 soddisfa pertanto alle ipotesi del teorema I. Si conclude che se q , </, , ... , q^ 

 sono fi -f- 1 interi positivi; non nulli (q < q x < ■•■ < q^), soddisfacenti 

 alla disuguaglianza q x -f- g 2 -f - — j - — P j es^s/e sempre una varietà 

 algebrica possedente p (e soltanto p) integrali semplici di l a specie,, per 

 la quale si verificano tutte le condizioni del teorema I. 



È superfluo di avvertire che questa conclusione non è senz'altro applica- 

 bile alle curve di genere p ^> 3, perchè i periodi normali dei loro integrali 



di l a specie, sono legati da — relazioni, delle quali non si 



u 



può a priori affermare la compatibilità colle condizioni suddette. È però 

 certo che, una volta scelti gl'interi q , q Y q», si può sempre costruire 

 una curva di genere n(>p), abbastanza alto, soddisfacente al teorema I. 

 Basterà all'uopo considerare una curva generica tracciata sopra una varietà 

 con p integrali semplici di l a specie, che soddisfaccia al teorema suddetto. 



Per le superfìcie (o varietà algebriche superiori) non havvi invece alcune 

 limitazione, perchè, come hanno dimostrato Castelnuovo-Enriques ('), i pe- 

 riodi normali degl'integrali semplici di l a specie d'una superfìcie (o varietà) 

 possono scegliersi del tutto ad arbitrio, compatibilmente colle già ricordate 

 disuguaglianze. 



Si può in conseguenza affermare p. es. che : 



Dati ad arbitrio gl'interi positivi p , fi (fi<p), esiste sempre una 

 superficie algebrica F, d'irregolarità p, contenente un'infinità discontinua 

 di fasci ellittici di curve, tale che gli elementi [fasci) di quest'infinità 

 possano rappresentarsi biunivocamente coi punti razionali di uno spàzio 

 a fi — 1 dimensioni. 



In particolare, nel caso fi=p, su F esistono infiniti integrali ellittici 

 infinitamente vicini ad ogni integrale semplice di l a specie della superficie. 



8. Dimostrazione analitica del teorema I. — Poniamoci ora nuo- 

 vamente nelle ipotesi del teorema I, e conserviamo le notazioni del n. 4. 



Siano u\ lì , ... , qi integrali indipendenti di Aj(z = 1 , 2 , ... , fi) ; 



e, , c 2 , ... ,<r 2p 2p cicli lineari primitivi della data varietà V, ed «jj* , ... , &>^ g 

 = 1,2,..., q t ) i periodi ridotti di u\'K talché il periodo di u ( i> al ciclo 



(') Sur les intéyrales simples de première espèce tìfune surface ou fàune variété 

 algébrique à plusietirs dimensions, Annales scientifiques de l'École normale supérieure 

 de Paris, (3), tomo XXIII, 1906, pp. 339-366. 



