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a h (h = 1 , 2 , ... , 2p) si potrà scrivere sotto la forma ^_ a»™ , ove le m 



sono interi non tutti nulli, indipendenti, per un dato i, dall'indice l. 

 Allora l' integrale generico 



(1) M =Ì f-Af <' 



i=i i=\ 



di K, avrà lungo c h il periodo 



i=l s=l 2=1 



sicché i suoi 2(c/i -f- ■■• -f- <J\i) periodi ridotti, ulteriormente irriducibili (n. 1), 



saranno y_ a™ (s = 1 , 2 , , 2^ ; ? = 1 , 2 , ... , /t) ; e la matrice della 



sostituzione lineare esprimente i 2p periodi fondamentali pei periodi ridotti, 

 sarà : 



(2) 



Ki ' m 'ht - - . > m V . <2 } . - . <'L 



(^ = 1,2, ... 2jd). 



Questa matrice è diversa da zero, cioè non sono nulli tutti i suoi minori 

 d'ordine 2(qi -\- ■■■-{- q^), perchè altrimenti il numero dei periodi degl'in- 

 tegrali di K si ridurrebbe ulteriormente. 



Suppongasi ora che al sistema K appartenga un altro sistema regolare 

 A , oo* _1 , il quale sia indipendente da A, , A 2 , ... , Ajj. . Sieno Xf r {r — 1 , 

 2 , ... , <?) i valori che vanno attribuiti alle X { p nella (1), per ottenere q 

 integrali indipendenti di A e O rì , 6 r2 , ... , tì r ^ q i periodi ridotti dell' inte- 

 grale r-esimo (r = 1 , 2 , ... , q). Sussisteranno allora le relazioni 



(?) I I < t < = tn hj 6 rjt 



i s l J=l 



(r = 1 , ... ^ ; h = 1 , 2 , ... , 2p) , 



lo n essendo interi non tutti nulli, indipendenti dall'indice r. Considerando 

 queste relazioni, per un r fissato, come equazioni lineari nelle 2(^, -j f- q„) 



quantità ^XftorfJ, poiché esse son soddisfatte per valori non tutti nulli 



i 



di queste quantità (chè altrimenti l' r-esimo integrale di A si ridurrebbe 

 ad una costante, in quanto avrebbe nulli tutti i suoi periodi ridotti), la 

 matrice formata dai coefficienti e dai termini noti delle suddette equazioni, 

 dovrà essere nulla. 



