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Se ora si tien conto che fra le 6 r j non può sussistere alcuna relazione 

 lineare omogenea a coefficienti interi (indipendenti dall'indice r), perchè 

 altrimenti gl'integrali di A avrebbero meno di 2q periodi ridotti, si con- 

 clude che è nulla la matrice 



(4) 



(A = l,2,...,2p), 



per qualunque indice j (/ = 1 , 2 , ... 2<?). 



Ciò posto, indichiamo con a l , a 2 , ... , a^, (i interi arbitrari tutti di- 

 versi da zero, e con ó il loro minimo comune multiplo. Le (3) possono 

 anche scriversi sotto la forma 



ove si è posto 



— «) Wh\ à _ , 

 m hs = ' f< W = n hj à . 



Nelle (5), i determinanti d'ordine 2(q l -\ — -}~ estratti dalla matrice 

 dei coefficienti m , uguagliamo evidentemente i corrispondenti determinanti 



della matrice (2), moltiplicati per l'intero non nullo /? = ^- — 



e quindi anche la matrice degl' interi m è diversa da zero. Similmente, i 

 determinanti d'ordine 2{q x -|- ••• + q^) -f- 1 estratti dalla matrice delle la 

 e delle n (per un fissato j), uguagliano i determinanti corrispondenti estratti 

 dalle (4), moltiplicati per Finterò non nullo {3ó; laonde la matrice delle 

 wj è nulla, come la (4). 



Ne segue che dalle (5), per r fissato, si possono ricavare le 2(q 1 -\ 



quantità J a { Afj) affi come combinazioni lineari a coefficienti razionali in- 

 ~T~ 



dipendenti dall'indice r, delle 0 rj . Ponendo r = 1 , 2 1, ... , q, si hanno 

 pertanto q integrali *V = X X tti ^ u ^ co * ^ P er ' 0 ^ ridotti — ma non 



È i 



generalmente primitivi — 6. Affinchè si possa però affermare che il sistema B 

 individuato dagl' integrali v r , è regolare, occorre provare che i q integrali 

 stessi sono indipendenti, giacché allora, e solo allora, ne seguirà che i 2q 

 periodi 0 sono ulteriormente irriducibili. 



Non essendovi alcun legame lineare fra gì' integrali uf 1 , se vi fosse 

 un legame lineare fra gl'integrali v r , sussisterebbero, per valori non tutti 

 nulli delle r, le relazioni lineari 



f^C=0 (l = 1 , 2 , ... , fi \. i = 1 2', ... fi}, 



Rendiconti. 1914, Voi. XXIII, 1° Sem. 



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