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ed allora sarebbero dipendenti anche gl'integrali scelti entro A. Pertanto 

 il sistema B è regolare e oo?~ l , qualunque sieno gì' interi non nulli «, . 

 a* , — , • 



Ma per poter da ciò dedurre che la varietà possiede infiniti sistemi 

 regolari oo? _1 , occorre provare che a due gruppi generici di valori delle a 

 — e sieno (a[ , a\ , ... , a'^) ; (a[ r , a' 2 ' , ... , a'^) — corrispondono due sistemi 

 regolari distinti B' , B" . 



Si ammetta, se è possibile, che B' , B" coincidano. Allora la matrice 

 che ha per orizzontale r esima (r = 1 , ... , q) 



(6) < Kr . < Kr < V , • , «; , «; *£> , ... , «; ^ , . 



e per orizzontale (q l) esimo 



(7) a" X' , a" A' , ... , a" X' , , a" ' , a" X?' , ... , a" X 1 ^ , 



ove s è un intero fissato nella successione 1 , 2 , ... , q , dovrà esser nulla, 

 giacché il suo annullarsi esprime appunto che l' integrale di B", corrispou- 

 dente ai valori (7) dei parametri, è contenuto in B' . Sottraendo dall'oriz- 



a" 



zontale (7) la s e,ima delle (6) moltiplicata per — ~ (ove i è fissato), la 



nuova matrice, pure nulla, che così si ottiene, viene ad esprimere, col suo 

 annullarsi, che B' ha un integrale comune col sistema 2 t , definito al n. 4. 

 Questo integrale comune corrisponde ai valori 



rr r tr r ri r ti t 

 \o) r ) ••• 1 i A qiS ) ì 



't i ut 



cc„ a, — a, ct„ 



0.....0,..., ' * , ' " ' r 1 



dei parametri. Facendo s = 1 , 2 , q , si ottengono così q integrali co- 

 muni a B' ed a 2^, ed è facile vedere che sono integrali indipendenti. 

 Infatti, qualora essi fossero dipendenti, sarebbe nulla la matrice di cui (8) 

 è la orizzontale s esima (s = 1 , ... , q), la qual matrice, previa la soppres- 

 sione dei fattori non nulli (per la genericità delle a , a") comuni alle sue 

 singole verticali, riducesi a quella che ha per orizzontale s esima 



X\ , ... ,X' . ... ,0,... ,o,... xf ,...,x^ . 



ls ' ' y,s ' ' " * ' ' ' ls ' . ' j^s 



L'annullarsi di questa matrice porterebbe a ciò: che l'integrale di A, 

 £ zi y_ X^ u\ }) , ove le s son costanti convenienti non tutte nulle, si 



