— 651 — 



ridurrebbe ad una combinazione lineare dei soli integrali u[ l) , ... ? di A,, 



ed esisterebbe perciò un integrale comune ad A , A,- ; contro il supposto. 



Si può pertanto affermare che, se B' coincide con B", il sistema B' 

 ha in comune con Si, qualunque sia i{== 1 , 2 , ... , q), q integrali indipen- 

 denti, cioè che B' è contenuto in S t . 1 sistemi S x , ... , S q vengono pertanto 

 ad avere in comune (almeno) un sistema B' di dimensione q — 1(^>0). 

 Ora, come abbiamo già osservato al n. 4, ciò non può accadere, se i sistemi 

 Aj , ... , Aja dati son tra loro indipendenti. Kesta così dimostrato, anche per 

 via analitica, il teorema 1. ; . 



Meccanica. — Un'osservazione sulle figure d'equilibrio dei 

 fluidi rotanti. Nota del Corrispondente E. Almansi. 



1. Una massa fluida, omogenea, incompressibile, ruoti intorno ad un 

 asse con velocità angolare costante m. 



Assumiamo l'asse di rotazione come asse delle s; gli assi delle x e 

 delle y siano collegati colla massa in movimento. 



Denotando con V il potenziale newtoniano della massa fluida, in tutti 

 i punti della superficie a che limita lo spazio S da essa occupato, deve aversi: 



U=V+^-(:r ? + y 2 ) = cost. 



Diciamo q la densità del fluido, k la costante dell'attrazione, e poniamo: 



U = kgu , V = kQV , 

 w 2 = 2ak(> . 



Nei punti di o dovrà essere: 

 (1) u = v -j— a (te 2 -j- y 2 ) = cost a = cost>0. 



Poiché v è il potenziale, per k = 1 , di una massa di densità 1 che 

 occupi lo spazio limitato da <r, le formule (1) ci dànno una condizione di 

 natura puramente geometrica, necessaria affinchè la superficie a possa rap- 

 presentare una figura d'equilibrio. 



Denoterò con (a) questa condizione: la condizione, cioè, che nei punti 

 di a si abbia v -\- a(x 2 -J- y 2 ) = cost ., « essendo una costante positiva. 



Ad una superficie a che verifichi la condizione (a) corrisponde un de- 

 terminato valore della velocità angolare co, dato dalla formula co 2 ~2akQ. 



