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uguale ad u 0 , dunque nell'interno dello spazio S, in cui penetra la retta 

 P 0 £, dovranno esservi dei punti nei quali u è maggiore di u 0 . E la funzione u 

 avrà nello spazio S un valore massimo u' maggiore di u 0 ■ 



Sia r una sfera di centro P, di raggio R, tutta contenuta nello spazio S. 

 Essendo J 2 u = J 2 v -j- 4a = — A(n — a), sussisterà la relazione (che si 

 ottiene applicando il teorema della media di Gauss alla funzione armonica 

 M 4~f { n — ct){r 2 — R 2 ), ove r denota la distanza di un punto qualunque 

 dal centro P della sfera) : 



u(P) = l -^u dx + | R 2 (tt — a) . 

 Se ne deduce che non può essere n — a<-0: altrimenti sarebbe 



mentre questa relazione non risulterà verificata se si suppone che P sia un 

 punto in cui la funzione u abbia il valore massimo u', ma che almeno in 

 una parte di t, u sia diversa da u', quindi minore di u . 

 Sarà pertanto n — a > 0, ossia 



a <^ 71 . 



E la formula (2) darà: 



Di qui vediamo che se u" è il minimo valore di u nell' intero spazio S , 

 non può essere u = u" in nessun punto P situato nell'interno di S. Vale 

 a dire: il minimo valore di u è il valore u 0 che u assume sulle superficie; 

 e in nessun punto situato nell'interno di S u può essere uguale ad u„, ma 

 dovrà essere ovunque u > 0 ; c. v. d. . 



Rimane così provato che se la pressione è nulla in superficie, essa è 

 positiva in tutti i punti situati nell'interno dello spazio S. Ciò avverrà a 

 maggior ragione se la pressione ha, in una superficie, un valore (costante) 

 positivo. 



Dalla formula che è verificata per qualunque superficie e sulla 



quale si ahbia v -f- cc(x 2 -J- y 2 ) = cost , deriva, per il quadrato della velo- 

 cità angolare, il limite 2Ttkg stabilito dal Poincaré 



(') Figures d'équilibre d'une masse fluide, pag. 11. Il dott. Crudeli ha poi dimo- 

 strato che se la superficie a è convessa in ogni suo punto, deve essere <w a << tiIìq 



^ossia K< ^) : Nuovo limite superiore delle velocità angolari dei fluidi omogenei, ecc., 



Eend. della K. Accad. dei Lincei, 1° seni. 1910, pag. 666. 



