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Se «i , a 2 , ... , a n sono delle omografie funzioni del punto P, vale la 

 relazione : 



(IV) — = a, « t ... a n _, — + a, a 2 . . a„_ 2 — — a„ + - 



~l~ "^p^ a 2 ••• a n 4~ K Kot K(aj a 2 ••• ««) • A — 

 — cc l a 2 ... a„_i . K Rot K a n . A — a! « 2 ... a M -2 • K Hot K . Aa n — 

 — a, a 2 ... a„_ 3 K Rot K a n _ 2 . Aa n _, a„ — ••• — K Rot K a { . Aa 2 ... a„ . 



Questa formula si dimostra senza difficoltà per induzione Supposto in- 

 fatti sia vera per un certo valore intero e positivo m, di n, sostituiamo in 

 essa, ad a m (per n = m\ il prodotto a m a m+l ; applicando la (III), si ottiene : 



L dcc m+ \ | dcc m | 

 ff m "T" ^p a m+i ~T~ 



a 2 ... «,„ a,»-,.,) 

 dP 



-f- K Rot K(a m a m+1 ) .A — a m K Rot K« m+1 .A — K Rot K a m . A« TO+1 ^J -j- 



-j- « 2 ... «j«_2 ^p or m « m+1 -}- ••• -(- « 2 ... a m «m-i- "T" 



-f- K Rot K(aj « 2 «m-i-i) - A — a 2 ... a^-i K Rot K(a m a m+ì ) . A — 

 — a l ... <x m _ 2 K Rot K a m _i . A.a m cc m ^. 1 — ■•■ — K Rot K ai . A.a 2 cc 3 ... a m+l , 



■nella quale si elidono i termini in «! « 2 ... a TO _! K Rot K(a m a m+l ) . A; dopo 

 ciò, risulta provato che la (IV) vale pure per n = m -f- 1. E siccome essa 

 coincide con la (III) per n = 2, si conclude che essa vale per ogni valore 

 intero e positivo di n, cioè è vera in ogni caso. 



7. Come nel n. 4, possiamo osservare che, se le omografie a x , a 2 , ... , a n 

 sono delle derivate, allora: quando, e solo quando, è pure una derivata 

 il loro prodotto a x a 2 , ... , a n , si ha : 



, d(at « 2 ... a») da n da % 

 (IV) — = «! « 2 ... ««-i "^p- H ] r a l —a 3 ...a n ~\- 



. dax 



e mi sembra degno di nota il fatto che, fra le condizioni ora indicate come 

 sufficienti perchè valga la (IV), non compaiono affatto i prodotti formati 

 con una parte soltanto delle n omografie a x , a 2 , ... , a n . 



Similmente a quanto si è fatto nel n. 5, dalla formula (2) del Pensa 

 (loc. cit., pag. 150): 



2V (a -^)= [Rot(«/?) — Rot a . /?] a , 



