per a vettore costante, si deduce : 

 2V 



r Tr dK(a l ai ... <*„_!) a 

 Ka„ 



|_ dP 



= [Rot K(a, «2 ... a n ) — Rot Ka„ . K(a, «<> ... «„)] a ; 



quindi, essendo Rot K«„ = 0, affinchè risulti pure Rot K(ai «. 2 ... a n ) = 0, 

 orcorre e basta che l'omografia Ka n ^^ cc ' tt * •" a s j a una dilatazione, 



Co Jr 



qualunque sia il vettore costante a. 



Dunque: se «i ,a 2 , ... , a M sowo cW/<? derivate, la (IV) sussiste quando 

 e solo quando l'omografia: 



fi?K(«i a 2 . . ccn-x) a 



dP 



joer a vettóre eostante arbitrario, è una dilatazione. 



8. Dalla (IV), in particolare, si ricava quale espressione della derivata 

 di una qualsivoglia potenza intera e positiva n-esima d'una omografia: 



/TT . da n ■ , da , . da , da „ , da 



(V) 7? - " 5p + a 5F a + - ■ + « rfp " + 1? " ' + 



-f- K Rot K« n . A — a n ~ l K Rot Ka . A — 

 — a n ~ 2 K Rot Kff . A« K Rot Ka . Aa"-' ; 



la quale, quando a è una derivata, si riduce a : 



(Vj rfP _ " ^P+" rfP" + ^"^P" + 



+ ^-«— > + KRotK«". A; 

 1 dP 1 



e, se anche a n è una derivata, si ha: 



, dcT _ da t _ 2 da da da 



1 ' dP~ a dP + " dP a+ ^ a dP a ^dP" ' 



Per quanto si è detto nel n. 7, se a è una derivata la (V") sussiste 

 quando e solo quando Ka a è una dilatazione, qualunque sia il 



vettore eostante a. 



Rendiconti. 1914, Voi. XXIII, 1° Sem. 



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