rappresentano le coordinate del punto M,, corrispondente al punto M di C, 

 nella più generale trasformazione asintotica di C. 



Di questo teorema ho fatto diverse applicazioni nella Memoria citata; 

 in questa breve Nota mi permetto di mostrare come esso fornisca la com- 

 pleta risoluzione della seguente questione di geometria cinematica: 



Determinare tutti i movimenti di una retta in cui la traiettoria di 

 ogni punto è un'asintotica sulla rigata generata della retta. 



La questione può trattarsi per altre vie, specialmente quando si pensi 

 ch'essa può anche così formularsi: 



Costruire tutte le superficie rigate (le diremo rigate E) sulle quali 

 le punteggiate proiettive,, secondo cui le asintotiche curvilinee segano le 

 generatrici, risultano identiche. 



La trattazione che vado ad esporre ha il merito di una grandissima 

 semplicità nei calcoli. 



2. Alla classe delle rigate E, le cui asintotiche segano le generatrici 

 in punteggiate identiche, appartiene Y elicoide rigata d'area minima. Ve- 

 dremo che l'elicoide rigata d'area minima fornisce un esempio particolaris- 

 simo di tali rigate, nonostante possiamo fin da ora rilevare una proprietà 

 comune a tutte, è la seguente: 



Le rigate E sono a piano direttore. 



Ed infatti la linea nel piano all'infinito di ogni rigata E deve risul- 

 tare un'asintotica, e perciò saia una retta. 



3. Per la trattazione analitica del nostro problema, domandiamoci, come 

 prima cosa, se esistono trasformazioni asintotiche per una curva C nelle 

 quali il tratto MMj = t(v), congi ungente due punti corrispondenti, ha lun- 

 ghezza costante =u. Ponendo t = u nelle (1), si vede che 6 % a devono 

 soddisfare al seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie: 



Ne segue che : Per ogni curva C esistono oo 3 sue trasformate asin- 

 totiche tali che la distanza fra due punti corrispondenti è costante ; cia- 

 scuna trasformata risulta individuata coli' assegnarle, sopra un determi- 

 nalo piano, osculante in M la C, un punto Mi per cui deve passare, e 

 un piano per MM, dal quale deve essere osculata. 



Se consideriamo ora una rigata E, le sue asintotiche sono trasformate 

 asintotiche di una fissata C fra esse, tali che la distanza fra due punti cor- 

 rispondenti è costante. Designamo con C„ l'asintotica di E che stacca sulle 

 generatrici, a partire dai punti di C, un segmento di lunghezza u. Le fun- 

 zioni 0 e a relative alla coppia C e C« di trasformate asintotiche devono 



