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di P risulti un'elica circolare (in particolare una circonferenza o una retta), 

 P { , T si potrà considerare anche come una funzione di à soltanto, positiva 

 per tf>0. 



Invero le eliche circolari godono la proprietà, sufficiente ad individuarle, 

 che in esse, ad archi di lunghezza eguale, corrispondono corde eguali 



Si può domandare se non si presenti anche in altri casi la circostanza 

 che P £)T risulti una funzione di d soltanto, positiva per à ^> 0 : 



(2) P,, T =>(«*) • 



Alla conclusione che ciò non verifica, facilmente si perviene nel modo 

 seguente-. 



Derivando la (2) rispetto a t. gpoichè è funzione di r soltanto per 

 il tramite di <r, si ottiene, qualunque sia t. 



1 t/t?, +T , ., dò .'— — 



ed anche, per % == 0, 



(3) If=-^(0),/®, 

 perchè, evidentemente, 



(f) -i- 



Indicando con k il valore positivo ( ? ) di ip'(0) dalla (3) si deduce 



(4) P«, T = 1 — e-^l 



all'espressione generale della componente normale della forza applicata ad un punto ma- 

 teriale in funzione della velocità e del raggio di curvatura della traiettoria) permette di 

 dedurre dalla [§) che la flessione della traiettoria di P t (se non è identicamente Vi = 0) 

 è costante e =^ Oi c os\ che la traiettoria stessa è una circonferenza (eventualmente dege- 

 nere in un punto). La traiettoria di P sarà dunque un'elica di un cilindro circolare retto, 

 avente l'asse parallelo al vettore H. 



(') Le eliche circolari sono caratterizzate (cfr. ad es. Bianchi, Lezioni di geometria 

 differenziale, Pisa, 1902) dall'essere in ogni parte sovrapponibili a sè stesse. In una 

 elica cilindrica a due archi di eguale lunghezza, corrisponderanno dunque corde eguali. 

 Viceversa, se in una curva si verifica questa proprietà, qualunque sia la lunghezza comune 

 dei due archi considerati, risulterà possibile, fissati ad arbitrio due punti P', P" della 

 curva, stabilire una corrispondenza della curva in sè, in cui i punti P' , P" siano omo- 

 loghi e che conservi le lunghezze degli archi e, al tempo stesso, le distanze. Vuol dire 

 che in tale ipotesi la curva sarà necessariamente sovrapponibile a sè stessa in ogni sua 

 parte, e quindi sarà un'elica circolare, c. d. d. 



(•) Cfr. la (3) della Nota I. 



