— 677 — 



allora è anche 



fìf'WJ dx > {-^) 2 J\f(x)J dx » . 



La dimostrazione che ne dà il chino Autore procede per gradi, comin- 

 cia cioè a rivolgersi a funzioni che soddisfano a certe peculiari condizioni, 

 che va poi via via allargando fino a giungere alla classe delle funzioni per 

 cui il teorema stesso è enunciato. 



In questa breve Nota, ci proponiamo di giungere direttamente alla pro- 

 posizione detta nella sua forma più generale, enunciandola per la classe delle 

 funzioni assolutamente continue (funzioni integrali), che è più estesa di 

 quella considerata dall'Almansi, facendo anche vedere che, abbandonando 

 l'assoluta continuità, si hanno funzioni per le quali la proposizione stessa 

 non è più valida, pur essendo tali funzioni a variazione limitata. 



Dimostriamo anzi quest'altro teorema, che contiene il precedente come 

 caso particolare: 



« Se f(x) è una funzione assolutamente continua nell' intervallo 

 (a , b) ('), nei cui estremi assume lo stesso valore, e se esiste V integrale 



\f'{x)Jdx, è 



dx - V WT dx ^ ^ [_jj { x) dx~J (*) 



Avvertiamo che noi, come l'Almansi, ci fondiamo sulla formula di Par- 

 seval, relativa alle serie di Fourier. 



La Nota termina con una proposizioae relativa al rapporto fra l'inte- 

 grale di f e quello di f" 2 . 



1. Facciamo un cambiamento di variabile mediante la posizione 



i b — a * 

 x = a + ^ r 6, 



che fa corrispondere all' intervallo (a , b), l'altro (0 , 2ix) . La funzione f(x) 

 viene così mutata in 



e questa F(0) risulterà ancora assolutamente continua, ed assumerà lo stesso 



(') b>a. 



( a ) Relati vameute dai due termini della differenza qui considerata, si sa già che il 

 loro rapporto è sempre -SI 4, se è f(a) = f[b) = 0 (ved. Hadamavd, Legons sur le colevi 

 des variations, Paris, Hermann, 1910, pag. 335). 



