valore negli estremi 0 e 2tt. La disuguaglianza da dimostrare diventerà poi 

 [F(e)fdd— [¥(d)y de <^ Y{d)do . 



Jq ^ n \_J $ I 



La funzione F(0), essendo assolutamente continua è a fortiori conti- 

 nua e a variazione limitata. Il criterio di Jordan ci assicura allora (aven- 

 dosi F(0) = F(27r)) che tale funzione è sviluppabile in serie di Fourier, uni- 

 formemente convergente in tutto (0 , 2tt) : 



1 00 



F(0) = - a 0 -f- Y (a p cos px -j- b p sen px) , 



Inoltre, sempre per l'assoluta continuità, esiste la dernata F'(0) in tutto 

 l'intervallo (0,2rr), ad eccezione di più di un insieme di misura nulla, 

 ed è 



fV(0) dO=V(d) — F(0). 



Jo 



Ricordando ancora l'uguaglianza F(0) = F(2n) , abbiamo ( l ) che la 

 serie di Fourier della derivata F'(0) si ottiene derivando termine a termine 

 quella di F(0) . Possiamo scrivere così (adottando una notazione dovuta a 

 Hurwitz) 



00 



F'(0) ~ y_ p( — a p senpx -J- b p cos px) . 

 i 



Dalla formula di Parseval, estesa da Fatou ( 2 ) alle funzioni di qua- 

 drato integrabile, deduciamo allora, 



f 2 V(0) de = tv i \ a\ + f~ (4 + b%) \ 



{ * ! P =i ; 

 f 27I [F'(0)] 2 dtì—n\j_ p\a% + b\) \ , 



f*\F(d)j de _ £ 2 "[F'(0)] 2 de <= | fl « = ^ 



j^ 27l F(0) rfeT , 



che è appunto quanto si voleva dimostrare. Si vede anche che il segno di 

 uguaglianza sta solo quando sia 



a p = b p = 0 (p — 2,'ò, ...), 



(') H. Lebesgue, Legons sur les séries trigonometriquet, Paris, Gauthier-Villars, 

 1906, pag. 104. 



(*) P. Fatou, Séries trigonometriques de séries de Taylor, Acta math., 1906. 



