e non può dunque essere verificata la disuguaglianza da noi dimostrata per 

 le funzioni assolutamente continue. 



3. Vogliamo aggiungere qualche considerazione sul rapporto fra gli in- 

 tegrali di f 2 e f 2 . Abhiamo già ricordato che, nell'ipotesi f(a) = f{b) = 0 , è 



£f' d ^ { L ir)'£r*°- 



Se fosse solamente f(a) — 0 , quale sarebbe il massimo del rapporto 

 dei due integrali considerati? 

 Si ponga 



e si cerchi il minimo di quest' integrale fra tutte, le funzioni che soddisfano 

 alla condizione f(a) = 0. 



Le estremali dell'integrale detto si ottengono integrando l'equazione 

 differenziale 



f+pT = o, 



e sono date da 



f= c x - cos — -f- c 2 sen — • 

 ' p p 



Per due punti qualunque di ascisse %i e x t , passa sempre una di 

 queste estremali, ed una sola, tutte le volte che h\xi — x 2 \ <^p n\ dunque se è 



*>^>° ; 



è sempre possibile circondare l'estremale che congiunge i punti (a , 0) , (b , h), 

 dove h è qualunque, con un fascio di estremali che ricopra tutta la striscia 

 compresa fra le rette x = a , x = b, E poiché qui la derivata seconda ri- 

 spetto a f di p % f n — f 2 è sempre positiva, l'estremale detta dà il mini- 

 mo assoluto fra tutte le funzioni che assumono in a e in b rispettivamente 

 i valori 0 e h. 



Indichiamo con J p (h) il valore minimo di J p corrispondente ad h. L'e- 

 stremale che congiunge (a , 0) con (b , h) è 



h 



. b — a x — a 

 f = sin sen 



P P 



e si ha perciò 



b — a 



3 p (h) = ph* cotg . 



Rendiconti. 1914, Voi. XXTII, 1° Sem. 



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