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complète de cette suiface, et démontra quelle est caractérisée soit par les 

 conditions p a = P 3 = 0 , P 2 = 1 , soit par les conditions équivalentes 



fa = Po = 0 , P 6 = 1 • 



Dans leur Mémoire sur les surfaces hyperelliptiques MM. Enriques 

 et Severi ont remarqué qu'il pouvait exister, sur une suiface de genres un 

 (p a = P 4 = 1), des involutions d'ordre deux, dépourvues de points unis, 

 représeutables sur des surfaces de genres zero et de bigenre un. Ensuite, 

 M. Enriques a fait voir qu'inversement une surface de genres zero et de 

 bigenre un peut toujours étre considérée coinme représentant une involution 

 d'ordre deux, appartenant à une surface de genres un ( 2 ). 



En d'autres termes, si l'on considère la surface <t>, d'ordre six, passant 

 doublement par les arétes du te'traèdre dont les faces sont 



x = 0 , y = 0 , s = 0 , v = ay -\- by -\- cz -\- d = 0 , 

 cette surface a pour équation ( 3 ) 



(1) <p*{xyz , yzv , zvx , vxij) + xyzv f 2 (x . y , z , v) = 0 , 



5P 2 et f 2 étant des polynómes du deuxième degré, et la surface F, repré- 

 sentée par les équations (1) et 



u 2 — xyzv , 



est une surface de genres un (p a = P 4 = 1). De plus, M. Enriques a montré 

 que cette surface P, de genres un, peut se ramener (par une tran sforna ation 

 birationnelle) à une qnadrique doublé Q. 



Il existe donc, sur la surface P, denx involutions d'ordre deux. l une 

 représentable sur <P, l'autre sur Q. Chacune de ces involutions détermine 

 une transformation birationnelle de F en elle-ttiéme. Je me propose de dé- 

 montrer, dans cette Note, que les deux transformations ainsi définies sont 

 permutables, et que leur produit engendre une involution d'ordie deux et 

 de genres un (p a = P 4 == 1). 



En joignant ces résultats à ceux de M. Enriques, on pourra donc énoncer 

 le théorème suivant: 



del Circ. Matern. di Palermo, 1910, tom. XXIX: L. Godeaux, Sur les involutions appar- 

 tenant à une surface de genres p a — p g = 0 , P« = 1, Bulletin de la Société Malhéma- 

 tique de France, 1913, tom. XLI; Détermination des correspondances rationnelles exis- 

 tant entre deux surfaces de genres pà — fg = 0 , P 6 = 1, Bulletin de l'Académie roumaine, 

 1913, tom. II. 



O Acta Mathematica, voi. XXXII, XXXIII (XXXII, n. 38). 



( 3 ) Enriques, Un'osservazione relativa alle superficie di hi genere 1, Rend della 

 R. Accad. di Bologna, 13 genn. 1908. 



( :| ) Enriques, Introduzione..., loc. cit. (note au n. 39). 



