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Toute surface algébrique CP, de genres zèro et de bigenre un (p a = 

 — P 3 = 0 , P 2 = 1). représente une involution d'ordre deux, dépourvue de 

 points uniSj appartenant a une surface F de genres un (p a = p 4 = 1). 

 Cette surface F possedè trois trans formaiions birationnelles involutives 

 permutables en elle-mème: 



La premiere engendre l' involution de genres zèro et de higenre un 

 représentée par (P. 



La deuxième engendre une involution ratio nnelle qui permei de re- 

 présenter F sur une quadrique doublé (ayant une courbe de diramation 

 d'ordre huil). 



La troisième engendre une involution de genres un (p a = P 3 = 1). 

 1. Soit <P la surface algébrique de genres zero et de bigenre un {p a = 

 == P 3 = 0 , P 2 = 1), représentée par l'équation 



(1) fz{xyz , yzv , zvx , vxy) -\- xyzv f 2 (.v ,y,z,v) = 0, 



dans laquelle <p 2 et f 2 désignent des polynómes du deuxième degré et v 

 une fonction linéaire ax -(- by -4- cz -f- d . La surface O passe doublement 

 par les arètes du tétraèdre dont les faces sont 



x = 0 , y = 0 , z = 0 , v = ax -f- by -f- cz -{- d = 0 . 



De plus, c'est une surface générale de sa classe (Enriques). 



Considérons la surface F représentée par les équations (1) et 



u 2 = xyzv . 



Elle est de genres un (jo a = P 4 = l), et la transformation T\, d'équa- 



tions 



x =x , y = y , z' = z , u' = — u , 



engendre, sur F, une involution d'ordre deux, dépourvue de points unis, re- 

 présentable sur <2> (Enriques). 



Considérons, sur la surface <P, un système complet |T|, de genre 

 7r^>l, et son adjoint r'\. Ces systèmes ont le degré 2/r — 2 et la di- 

 mension ti — 1. En général, ils sont dépourvus de points-base. Si |T| a des 

 points-base, ils sont au nombre de deux et les courbes r sont hyperellipti- 

 ques. Il est aisé de voir que les r' sont également hyperelliptiques et que 

 \r'\ a, par suite, deux points-base 



Désignons par C , C les courbes de F qui correspondent respectivement 

 aux courbes r,r'. Soit |C| le système complet contenant les courbes C. 

 Le système [C| a le degré in — 4, le genre et la dimension 2n — 1, 



(') Enriques, Sopra le superficie..., loc. cit. (n. 7). 



