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Entre une courbe r et une courbe Ò. nous avons «ne correspondance 

 (1,2) dépourvue de points de diramation. Par suite, un groupe canonique 

 de f a pour correspondant un groupe canonique de C. Or, les r' découpent, 

 par définition, des groupes canoniques sur les 7"; les courbes correspon- 

 dantes C' découpent donc des groupes canoniques sur les courbes C. Or, les 

 courbes C découpent également des groupes canoniques sur les C. Par suite, 

 le système [C| comprend les courbes C' . 



Les courbes de P qui correspondent à des courbes de genre supérieur 

 à l'unité, de <J> et à leurs adjointes, soni équivalentes. 



2. Supposons actuellement que \r\ soit un faisceau de genre deux 

 (7r = 2). De pareils faisceaux existent certainement sur <P ; l'un d'eux est, par 

 exemple, découpé sur la surface (1) par les plans Xoc-\-ny = Q. 



Les courbes r' sont également de genre deux et forment un faisceau. 

 Les faisceaux ont, de plus, chacun, deux points-base. 



Le système |C| a maintenant le degré quatre, le genre et la dimension 



trois. 



On sait qu'une courbe de genre trois possédant une involution (oo l ) 

 d'ordre et de genre deux, est byperelliptique Les courbes C et C' sont 

 dans ce cas. Sur chaque courbe C se trouve donc une g\, et les oo 2 groupes 

 de ces oo 1 g\ forment une involution I 2 sur F. Mais les courbes C découpant 

 sur les C des groupes canoniques, chacune d'elles contient oo 1 groupes de L 

 et, par conséquent, j 0 j est composé avec I 2 . Rapportons projectivement les 

 courbes C aux plans d'un S 3 ; F se transforme en une quadrique doublé Q 

 qui a, nécessairement, une courbe de diramation d'ordre huit ( 2 ). Il en résulte 

 que toutes les courbes C sont hyperelliptiques et que les groupes de I 2 

 situés sur une courbe C, y forment la g\ dont nous avons reconnu l'existence 

 plus baut (une courbe de genre trois ne peut en effet contenir plus d'uDe g\). 



Nous désignerons par T 2 la trasformation birationnelle involutive de P 

 engendrant I 2 . 



3. Sur une courbe C, byperelliptique, de genre trois, T, change un 

 groupe de la g\ en un groupe de cette serie. À deux groupes de la g\ con- 

 jugués par rapport à T\, correspondent deux points de Q, c'est-à-dire qu'à Ti 

 correspond une transformation birationnelle & de Q en elle-méme. De plus, 

 Ti étant involutive, il en est de mème de 0. 



D'autre part, à deux points de P conjugués par rapport à la transfor- 

 mation T 3 = T,T 2 , correspondent deux points de Q conjugués par rapport 

 à 0. On en conclut que T 3 est involutive, c'est-à-dire que T, , T 2 sont per- 



(') Voir par exemple: R. Torelli, Sulle serie algebriche semplicemente infinite di 

 gruppi di punti appartenenti a una curva algebrica, Eend. del Circ. Matem. di Palermo, 

 1914, tom. XXXVII (n. 32, note 33). 



( a ) Enriques, Sui piani doppi di genere uno, Memorie della Soc. ital. delle Scienze 

 (dei XL), ser. 3 a , tom. X, 1896. 



