2. Sia ora u un vettore funzione dei punti 0 d'uno spazio S racchiuso 

 dalla superfìcie a-, monodromo finito e continuo in tutto S. 

 Allora 



(4) w= fyurfS, 



Js 



ove y è la dilatazione precedentemente definita, sarà chiamato il polensiale 

 newtoniano di spazio dell'elasticità. È un vettore funzione del punto P. 

 finito e continuo in tutto lo spazio esterno ad S , e all' oo tende a zero- 

 come ^ . Anche quando P è interno a a , ha un significato ed è finito e 



continuo; come risulta dall'espressione (3) di yu. 



Calcoliamo la divergenza di w. Si ha, tenendo presente che u non 

 dipende da P. 



div w = div yn dS = grad y X u dS . 



Js ' Js 



Ma 



grad y = 2SÌ* grad l - - «*) grad (^~ L ) 



= 2SÌ* grad £ — (<2 2 — w 2 ) grad ( Ar) ; 

 2 



e notando che Ar = si trova subito 



divw = 2« 2 f grad-XurfS = -2« 2 f lE^rXu 



dS 



Con la forma polare di dS si vede immediatamente che quell' integrale 

 è finito e continuo in tutto lo spazio esterno e interno. All' infinito si annulla 

 1 



come — . 



r* 



Inoltre, distinguendo -gli operatori con l'indice o quando si riferi- 



i 



i 



scono al punto 0, e notando che grad r = — grad 0 r, risulta 



div w = — 2« 2 grad 0 £ X u dS = — 2&> 2 £ ^div 0 ? — £ div 0 dS ; 



e, pel teorema della divergenza, 



j- „ o f u x n j i 9 f div 0 u JC1 

 div w = 2<» 2 da 4- 2« 2 — — dS , 



Ja r Js r 



essendo n un vettore unitario parallelo alla normale interna a e; la quale 

 dimostra che div w è la somma di due potenziali ordinarii di spazio e di 

 semplice strato. Riferendoci alle proprietà di questi potenziali, si deduce 



