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2. Per ipotesi, ogni qualvolta £>!(£> è rettilineo uniforme ed ha la ve- 

 locità c, lo stesso deve accadere per €)]& . Ciò si può anche esprimere di- 

 cendo che, dall'essere per un generico moto rettilineo uniforme 



(3) dx 2 + dy 2 + dz* — e 2 di* = 0 



segue che si ha, nel sistema trasformato, un moto pure rettilineo uniforme, 

 per cui 



(3') dx n + dy n -{-dz' ì — c 2 dt' 2 = 0. 



Dico che posso risguardare, nel discutere le conseguenze dell'ipotesi 

 [che (3') scende da (3) in virtù delle formule di trasformazione (1),(2)], 

 x , y , z , t , dx , dy , dz , dt , come quantità legate dalla sola (3) , ossia che 

 posso attribuire a 7 di queste quantità, valori numerici arbitrari, purché 

 1' 8° si intenda ricavato dalla (3) stessa. 



Ciò risulta ovviamente dal riflettere che, scelti a piacimento 8 valori 

 numerici sotto la indicata restrizione, e quindi del tipo 



%o , yo i 2 o . < dx 0 =jp cu dt 0 , dy 0 = cfi dt 0 , dz 0 = cy dt 0 



(con a , /? , y coseni di direzione) esiste effettivamente un moto rettilineo uni- 

 forme, per cui nell'istante t 0 il mobile occupala posizione x 0 ,y 0 ,z 0 , ed è 

 animato da velocità c nella direzione «,/?,/. 



3. Ora, sfruttando le (2), si ha: 



dx'*-\-dy' 2 -\~dz' 2 — e 2 di' 2 = forma quadratica nei differenziali delle primi- 

 tive variabili x,y,z,t, a coefficienti che dipendono esclusivamente da 

 x , y , s , t. 



Dovendo la (3') essere conseguenza della sola (3), ne consegue la 

 identità 



dx' 2 + dy' 2 + ds'*—e dt' 2 = l {dx 2 + dy 2 + dz 2 — c 2 dt 2 ) 



dove X è funzione delle sole coordinate. 

 Pongo 



ds 2 = dx 2 -j- dy 2 + dz 2 , ds' 2 = dx' 2 + dy' 2 + dz H ; 



con ciò la nostra identità assume l'aspetto 



(4) ds' 2 — c 2 dt' 2 = l{ds 2 — c 2 dt 2 ). 



Riferiamoci a determinazioni delle x , y , z , t , dx , dy , ds , dt , per cui 

 non sia ds 2 — c 2 dt 2 = 0, e indichiamo per comodità e uniformità di no- 

 tazione, i c t con x 4 , i et' con x\ ■ 



La (4) può allora scriversi 



(4') f.dx? = X fidxl, 



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