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e mette in evidenza che, fra le quaterne sci , x'i, interpretate come coordi- 

 nate di uno spazio S 4 euclideo, passa una trasformazione conforme. 

 Ora il teorema di Liouville( 1 ) dice che: 



Le più generali trasformazioni conformi dello spazio euclideo di ?z>2 

 dimensioni in se stesso, si ottengono combinando le inversioni per raggi vet- 

 tori reciproci, coi movimenti e colle similitudini. 



Da questo teorema risulta, che la nostra trasformazione sarà: o lineare, 

 ovvero prodotto di trasformazioni lineari con una inversione per raggi vet- 

 tori reciproci. 



Alla condizione poi, imposta alle T, di far corrispondere, in tutto il 

 campo reale, a valori finiti di x ,y , z , t , valori finiti di x' , y' ,z' ,t' , 

 soltanto le trasformazioni lineari soddisfano; possiamo così concludere, che 

 l'espressione più generale delle formule' cercate è 



4 



(5) x'i = a, y . Uij -.Xj (e = 1 .2,3,4), 



le a essendo costanti, e il determinante D dei coefficienti a,j diverso da zero. 

 Essendo A il moltiplicatore (necessariamente costante) che, a norma della (4'), 

 compete alla (5), pongasi 



(6) xt = J.^xj, 



(7) x'; = \~Xxt, 



(8) x\ = ài + x'i' . 



La (5) può manifestamente risguardarsi come prodotto delle tre sosti- 

 tuzioni lineari (6) , (7) , (8). 

 Dalle due ultime si ha 



dx'i = yl dscf , 



talché la (4') equivale a 



(0) tidxr^fidxh 



i i 



La (9) mostra che la (6) è un moto rigido dello spazio euclideo S A , 

 più precisamente anzi (siccome l'origine Xi = Q rimane fissa) una rotazione 

 rigida attorno all'origine: quindi (nel campo reale x ' ,y ,z , t ; x' , y' , / , i') 



una trasformazione di Lorentz ( 2 ). 



C) Cfr. per es. Bianchi, Geometria differenziale, voi. I, § 170. 

 ( a ) Cfr. in particolare. Marcolongo, Sugli integrali delle equazioni dell'elettrodi- 

 riamica, in questi Rendiconti, voi. XV (1° semestre 1906). 



