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che è parte comune dei due cilindri sia doppio della bipiraraide a base qua- 

 drata inscritta in esso. E poiché questa bipiramide vale un terzo del cubo 

 circoscritto, il solido comune ai due cilindri deve esserne i due terzi. Il 

 Paciolo non sa dare altra ragione di questo risultato (che del resto è vero), 

 che questa sola, che cioè nelle due sezioni fatte nei due piani diagonali (pas- 

 santi cioè per le due ellissi intersezioni dei due cilindri), il rapporto tra 

 l'area sezione del solido comune ai due cilindri (che è una ellissi) e l'area 

 della sezione della bipiramide (che è una losanga inscritta nell'ellissi), è eguale 

 al rapporto delle aree delle sezioni fatte con un piano passante per l'asse 

 della sfera e del doppio cono in essa inscritto. 



Il ragionamento contorto, non è che un tentativo non riuscito, di giu- 

 stificare il risultato ('), forse tratto da Erone, od almeno da qualche matema- 

 tico bizantino il quale abbia riferito il passo di Erone ( 2 ). 



4. Ma il Paciolo continua proponendo un altro problema : 



« Casus 11. — Egli è una volta a cruciera et per ciascuna faccia 8, et 

 « è alta 4, così nel colmo degli archi commo nel mezzo della volta; doman- 

 i dase de la sua superficie concava : 



« Tu dei sapere che la volta in cruciera è composta de doi mezzi canoni, 

 « intersegandose l'uno l'altro nelle loro congiuntioni fanno quattro puncte 

 « de scacheti de palle, et i posamenti sopra le quattro basa se congiungano 

 « a do a do puncte terminando in uno solo puncto... * 



Anche qui il Paciolo giunge ad un risultato esatto (73 7 , supposto n = ~), 

 con un ragionamento insufficiente, il che porta a credere che anche di questo 

 risultato egli non è autore. D'altra parte l'area della volta a crociera, che si 

 trova oggi facilmente, era un problema della stessa difficoltà di quello risolto 

 da Archimede. 



A me sembra quindi probabile che ad Archimede stesso si debba questo 

 risultato, dato sotto questa o sotto altra forma, in qualche altra delle sue opere 

 perdute, forse quella « Ttegì nXivdiówv xal xvKvóoav » , ovvero quella « de 

 super ficiebus et corporibus irregularibus » ( 3 ). 



5. È poi notevole che il Paciolo si proponga ancora il problema. 



« Casus 15. — Egli è uno corpo sperico che l'axis suo è 10. Uno lo 

 « fora nel mezzo con uno trevello et passalo de l'altro canto, et il diametro 



( 1 ) Si noti che Keplero con un metodo analogo, giustifica la misura dell'area di un 

 emisfero data da Archimede, osservando che è verisimile che essa sia (come è difatti), 

 media geometrica tra quella del cono circolare retto inscritto ad esso e quella del cono 

 circoscritto. Cfr. Nova stereometria doliorum, 1615, prima pars, theor. VI (Kepleri, 

 Opera omnia, voi. IV, pag. 561). 



( 2 ) È interessante il confronto dell'opera di Erone, coi trattati di Luca Paciolo. 

 L'identità di vari esempi numerici, del metodo seguito nelle dimostrazioni, dimostrano 

 chiaramente l'origine greca dei trattati. 



( a j Cfr. Archimedis, Opera omnia, ed., I. L. Heiberg, voi. II, pp. 542-548, Leipzig, 1913. 



