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obtenue en ordonnant les termes de la sèrie (1) suivant les puissanties de 

 x et de y, représente une fonction analytique autour de l'origine. Cette 

 fonction sera y>{x,y). 



Il est possible de mettre sous une forme bien plus simple la condition 

 ainsi imposée aux a 0 , a x , ... , <z„ , ... Je me restreindrai pour cela au cas 

 où f(x , y) est du premier ordre autour de l'origine, et je supposerai méme 

 (ce n'est pas une restriction) comme on le fait souvent, que f{x,x) = l. 



Les differentes puissances symboliques de / sont alors susceptibles de 

 développements de la forme 



!^j) = 1+ v cw , 



les g ( p\x) étant des fonctions analytiques de x dans un certain cercle autour 

 de x = 0. Nous aurons besoin d'une limitation des \g ( £\x)\: par des calculs 

 trop longs pour les reproduire ici, on peut prouver l'existence de deui 

 nombres a et r tels que, 



pour |#|<«, on ait \g ( p n) (x)\ < — . 

 Considérons alors l'identité, dont on a précise le sens plus haut: 



00 00. 00 * 



Z, Z ? c ™ * p y q = Zn «« , y) ; 



0 0 0 



en y faisant x = 0, elle ne doit pas cesser d'étre satisfaite. Il vient donc 



oo oo ì .n / oo_ \ 



avec 



d'où 



r\ = 9\ (o) ; 



ao v ao—i (q— ì) 



(3Ì = e — Y y ( 



Mais on a 



{q = 0, l ,...oo) 



l'i I ^ r i ' 



on peut toujours supposer, en réduisant au besoin la valeur de r, que 



N 



[ G 0,q\ <C 



