— 872 — 

 on déduit alors, des formules (3), que 



\a%<Nql(^. 



Mais puisque 



\f n+1 (x ,y)\< M n+1 \ y ~f\ n , 



c'est dire que la serie (1) converge absolument et uniformóment et repré- 

 sente <p(x , y) pour x et y suffisamment voisins de zero. Ce résultat n'est 

 en rien modifié si je laisse tomber l'hypothèse f(x — Je puis donc 

 dire: 



1. f(x , y) étant analytique autour de l'origine, tonte sèrie 



S_ n a n } n ^(x,y) , 



0 



où les a» sont des constantes telles que la sèrie 



— w ni 



reprèsente une fonction analytique de z, converge absolument et unifor- 

 mément pour x et y assez voisin de zèro et reprèsente une fonction ana- 

 lytique permutable avec f(x , y) . 



II. Réciproquement, on obtient toutes les fonctions g>(x , y) analyti- 

 ques autour de l'origine et perrnutables avec une fonction f(x , y) du pre- 

 mier ordre par des dèveloppements du type précédent. 



2. Cette réciproque répond, et très simplement, à la question : trouver 

 toutes les fonctions analytiques perrnutables avec f(x , y) . 



Les conséquences en sont nombreuses: je citerai en particulier les ré- 

 sultats énoncés au § 4 de ma précédente Note. En voici une autre: comme 

 la convergence d'une serie du type précédent ^ 



«o f{x ,y) + a, hx ,y)-\ h On f n+l (x , y) + - 



dépend du module de la différence y — x , une fonction <p[x , y), permutable 

 avec f(x , y) et analytique autour de l'origine (*), sera aussi analytique 

 au voisinage de tout point de la multiplicité x = y qui nest pas un point 

 singulier de f(x,y). Les zéros de f(x,x) ne seront pas, comme on pou- 

 vait avoir d' autre part motif de le penser, des points singuliers de tp . 



3. Il est intéressant de savoir si l'on peut donner, pour les fonctions 

 de variables réelles continues et perrnutables avec f(x , y) , des développe- 



(*) Et l'origine ne jc-ue pas un róle particulier. 



