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Ora, supponendo il vettore a unitario, e parallelo all'asse Ox, la quantità 

 li X a vale il coseno dell'angolo che la normale forma coll'asse Ox , ed 

 nXv è la proiezione (con segno), sulla normale, della velocità del punto P, 

 mentre gradyXa vale la derivata parziale di <p rispetto ad x\ la formula 

 precedente coincide quindi colla Sua formula (3). 



Ritenendo poi, nella formula precedente, a vettore costante arbitrario, 

 esso può essere portato fuori degli integrali, e quindi, per l'arbitrarietà di a, 

 si conclude: 



(2) y f(pnda= f da -f- f n X v . grad cp da . 



La (1) può considerarsi come una formula fondamentale, come lo è il teo- 

 rema della divergenza, da cui essa è stata dedotta; da tale formula se ne 

 possono dedurre moltissime altre, procedendo nell'identico modo con cui 

 nell'opera: Burali-Forti et Marcolongo, Transformations linéaires ( l ) (Pavia, 

 Mattei e C, a. 1912), dal citato teorema della divergenza si sono dedotte 

 le altre forinole di trasformazione di integrali, date nei nn. 55, 56, 58. 



Così, ad es., ponendo u = Kaw nella (1), ove a è un'omografìa vet- 

 toriale e w un vettore, funzioni regolari di P e di t, ed osservando che 

 \T. I, pag. 32, [1]; e pag. 79, [3] | 



(dw\ 

 K« ^p-I -j- grad kXw, 



si ha: 



AC , fì(anXw) , , 



+ n X v j I, (ita + grad « X w j da . 



Se il vettore w è costante, nell'ultimo integrale un termine si annulla; e 

 portando poi il w fuori degli integrali, per l'arbitrarietà di esso, si deduce 



j- f an da = { da -\- f n X v . grad a da . 



Se l'omografia a si riduce ad un numero <p, questa formula diventa iden- 

 tica alla (2). 



Supponendo l'omografia a assiale, e cioè della forma uA , con u vet- 

 tore funzione regolare di P e di ^ , questa formula porge, osservando che 

 grad(uA) = — rotu, \T. I, pag. 84, [2](, 



d r . , r D(uAn) , r _> 



j t J u An da =J — da ~J nXv. rotili; 



( l ) Nel seguito, citeremo quest'opera colla notazione \T. 



