— 922 — 



in particolare, supponendo u = <j>(P — 0), ove <p è un numero funzione 

 regolare di P e di t, ed osservando che rot u = grad y> A (P — 0), \T. L, 

 pag. 79, [2] | , si ha : 



(2') y f y(P — 0)A n da = f ^ (P — 0)A n da -f 



+ fnXv.(P — 0)Agrady 



J a 



da 



Se la superficie a fosse aperta, si otterrebbero formule analoghe alle 

 precedenti, partendo dal teorema della variazione del flusso per le super- 

 ficie aperte, che è espresso da (') 



j t |^nXtt d<r=j ^ n * U) da H-^f nX[v.divu + rot(uAv)]rftf. 



2. Profittando dell'occasione, permetta che La intrattenga ancora su 

 un'altra formula generalissima, che ha molte applicazioni nell' Idrodinamica. 



Siano u , v , w tre vettori funzioni finite e continue, colle loro derivate 

 prime, del punto P , variabile in uno spazio finito e fisso r, limitato dalla 

 superficie chiusa a. 



La formula in questione è allora la seguente ( 2 ) : 



(3) jj^vjXw.^T = — f uXw.vXndtf — 



-£uxw.divv^_j^(gv)xu^, 



ove n è un vettore unitario, normale a cr e diretto all'interno di t. 



La dimostrazione è semplicissima; si fa partendo dal teorema della 

 divergenza, espresso dalla formula 



(4) J~divurfr = — J^nX rida, } T. I, pag. 108, 



ponendovi (uXw)v al posto di u. Osservando che 

 div [(u X w) v] = u X w . div v + grad (u X w) X v , } T. L, pag. 79, [2] ( 



= uXw.divv + (x^w + K^u)xv, 



\T. ^,pag. 81, [l]f 



= uXw.divv + (§v)xw + (gvjXu, 



{7W.,pag. 32, [1]}. 



( J ) Cfr. i citati Éléments, pag. 115, form. (11). 



( 2 ) Questa formula è pure stata riportata nella recente opera: Burali-Forti et Mar- 

 colongo, Applications à la mécanique et à la pkysique, pag. 140 (Pavia, Mattei e C, 

 a. 1913). 



