Se, in particolare, u = v = grad y> , ove y è un numero funzione rego- 

 lare di P, la (5) porge, applicando formule note \T. /., pag. 81, [1]; : 

 pag- 77, [3]{, 



^ J" grad (grad y>Y dr = — J~ grad <p . grad <pXnda — 



— J~ grad (f . div grad <p dr . 



Il primo membro, col teorema del gradiente j T. L, pag. 108, [3] { , si tras- 

 forma in — (grad cp) 2 n da/2 ; perciò dall'eguaglianza precedente risulta: 



(7) U da = — grad y> . div grad g> dr , 

 avendo posto, per brevità, 



(8) U = grad y> . grad yXn — (grad y>) 2 n/2 . 



Questa formula è dovuta al prof. Levi-Civita ('), il quale ne ha fatto utili 

 applicazioni. 



Se la funzione <p è armonica (cioè div grad <p = 0), il secondo membro 

 della (7) sparisce, e si ottiene la formula (7) della Sua Nota. 

 Nelle stesse ipotesi, la (6) porge: 



J (P — 0) A | grad (grad <p)* dr = — (P — 0) A grad g> . grad y> X n da — 



— J~ (P — 0) A grad g> . div grad cp dr . 



Il primo membro può scriversi — rot [(grad g>y (P — 0)] ck/2 ; quindi, 

 applicando il teorema della rotazione \T. I., pag. 108, [2]}, esso si trasforma 

 in — (gi'ad <pY (P — 0) A n da/2 ; e perciò, ricordando la (8), si ha la for- 

 mula seguente, analoga alla (7): 



(9) J/ P — °)AU^ = — j (P — 0) A grad tp . div grad g> dt . 



Se la funzione y> è armonica, il secondo membro si annulla. 



3. Sia ora C un corpo, che potrà comunque muoversi e deformarsi col 

 tempo; e sia a la sua superfìcie. 



Supponiamo, come ha fatto Lei, che il corpo C sia immerso in una 

 massa liquida, limitata, oltreché da e, da una superficie 2, la quale potrà 



(') Levi-Civita, Sulla contrazione delle vene liquide, Atti del E. Istituto Veneto, 

 tomo LXIV, parte 2*, a. 1905. 



