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Matematica. — Proprietà metriche intrinseche caratteristiche 

 delle curve di un complesso lineare e delle superficie rigate di 

 una congruenza lineare. Nota di Gustavo Sannia, presentata dal 

 Socio Luigi Bianchi. 



1. Le curve sghembe di (ossia le cui tangenti appartengono a) un 

 complesso lineare di rette, si presentano in molte quistioni e sono state 

 oggetto di ricerche da parte di Lie, Appell, Koenigs, Picard ecc. È quindi 

 utile di possedere un criterio per riconoscere se una curva sghemba data 

 appartiene, oppur no, ad un complesso lineare. 



F. Egan (') ha dimostrato che fra la curvatura er e la torsione x di 

 una di tali curve passa una relazione, che involge anche le derivate t' e z" 

 di r rispetto all'arco s. Noi invertiremo tale risultato; anzi, adoperando i 

 metodi della geometria intrinseca, ritroveremo rapidamente la relazione di 

 Egau, dimostreremo che essa caratterizza le curve di un complesso lineare 

 e, data una di tali curve, daremo il modo di costruire il complesso a cui 

 appartiene. Poi, accoppiando questo risultato con un altro del Picard, per- 

 verremo ad un criterio per riconoscere se una data superficie rigata (*) ap- 

 partiene, oppur no, ad una congruenza lineare. 



2. Affinchè una curva sghemba C appartenga ad un complesso lineare, 

 è necessario e sufficiente che esistano una costante p ed una retta r ( 3 ), 

 tali che ogni tangente t di C soddisfi alla relazione : 



(1) dist(r , t) tang(r , t) = p . 



Siano a , /S , y , £ , rj , £ le coordinate di r rispetto al triedro (mobile) 

 formato dalla tangente t, dalla binormale e dalla normale principale di C 

 nel punto estremo dell'arco s. Esse saranno funzioni di s legate dalle re- 

 lazioni 



(2) «* + /? 8 + y*.= l, (3) «r+/ty + y£ = 0; 



(') The linear cornplex and a cert.ain class of twisted curves, Proceedings of the 

 Eoyal Irish Academy, section A, Dublin, voi. XXIX, 1911, pag. 29. 



( a ) Non sviluppabile; poiché in una congruenza lineare, che non degeneri nel si- 

 stema delle rette di un piano, non esistono superficie sviluppabili. 



( 3 ) p è il parametro, ed r è l'asse del complesso lineare. Non può essere p = 0 

 (ossia il complesso non può essere speciale), altrimenti le tangenti di C si appoggereb- 

 bero ad r, e la C sarebbe piana. 



