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e poiché r deve restare immobile al variare di s, esse dovranno anche sod- 

 disfare alle seguenti condizioni di immobilità ( J ) : 



(4) a — ffy = 0 , ff — %y = 0 , / -f- ffa -f- r0 = 0 , 



(5) r — < = 0 , r/ — T £ = 0 , t' -f + ri? -f £ = 0 , 



ove gli accenti indicano derivate rispetto ad s. Essendo poi « 0 = 1, 

 A> = yo — £o = — £o = 0 lf coordinate di t , si ha ( 2 ) 



momento (r , t) = dist (r , $ sen (r ,t) = — 2 (ai; 0 + «o ?) = — £ , 

 e, inoltre, cos(r,£) = a; quindi la (1) diventa 



(6) £ = — joa. 



Risolvere la questione proposta, equivale a cercare le condizioni di com- 

 patibilità delle equazioni (2), (3), (4), (5) e (6) nelle a , /? , y , £ , 17 , f , 

 Ora, derivando la (6), si ha, per le (4) e (5), 



(7) £ = -py; 



derivando ancora, si ha, per le (4), (5) e (6), 



(8) y = -p(p + l)p; 



sostituendo (6), (7) e (8) in (3), si ha 



(9) p = y-p T - 



poi dalle ultime due equazioni (4) si ha successivamente 



2w" — 'òr' 2 + 



(10) y = — ]/- V r , a = — J tf-pt 



Infine, sostituendo nella (2) i valori (9) e (10) di si ha 



(2^-3^ + 4**)* ■ 1 

 16t 5 (T 2 " ■■" r T 4t 3 jb * 



Viceversa; se la (11) è soddisfatta, le funzioni a/S y f f di s, definite 

 dalle (6) , ... , (10), soddisfanno al sistema (2) , ... , (5). Ciò risulta dal pro- 

 cedimento da noi seguito. 



Dunque: affinchè una curva sghemba C, definita dalle equazioni in- 

 trinseche o — <f(r) , t = z(s), appartenga ad un complesso lineare, è ne- 

 cessario e sufficiente che la funzione primo membro di (11) sia una co- 



( l ) Cfr. E. Cesàro, Lezioni di geometria intrinseca, cap. IX, § 3, Napoli, 1895. 

 ( a ) Ibid., cap. IX, § 7. 



