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stante — - ; il corrispondente complesso ha per parametro p e per asse 



la retta r(a , /? , y , £ , rj , £) definita dalle (6) , ... , (10) 



Affinchè il complesso sia reale, occorre e basta, per le (9) e (10), che 

 t abbia un segno costante, opposto a quello di p . Ne segue che : le curve 

 sghembe reali di un complesso lineare reale sono tutte o sempre destrorse 



0 sempre sinistrorse. 



Notiamo, per finire, che il primo termine della (11) non può essere 

 identicamente nullo, altrimenti, per la seconda delle (10), sarebbe a = 0, 

 ossia le tangenti di C sarebbero tutte ortogonali alla retta r, sicché la C 

 sarebbe piana, contro il supposto 



3. Ora consideriamo una superfìcie rigata R, non sviluppabile, sulla 

 quale assumiamo come linee coordinate v le asintotiche rettilinee (genera- 

 trici); e siano 



(12) ds i = E du* + 2P du dv + Gdv 2 . 



(13) D du* + 2D'dudv + D"dv 2 , 



le forme differenziali quadratiche che la definiscono. Le linee v sono asin- 

 totiche, quindi è D = 0; e sono rette (geodetiche), quindi è r^j===0 ('). 



' 2 ) 



La (13) si riduce a 



(14) 2D' du dv + D" dv 2 , 



sicché l'equazione differenziale delle asintotiche C del secondo sistema è 



(15) 2D'dudv + D"dv = Q. 



Per un'asintotica C la curvatura e e la torsione t coincidono rispetti- 

 vamente con la curvatura geodetica e con la torsione geodetica, e però val- 

 gono ( 2 ) 



i r ì i FD " — 2GD '\ . / 2FD ' — ED'Yl D' 



(16) * = 2 ) + *( j )J ' * = T' 



(') In generale j r ( S j (r , s , t = 1 , 2) indicano i simboli di Christoffel costruiti con 



1 coefficienti della (12j. Notiamo incidentalmente che: le condizioni necessarie e suffi- 

 cienti affinchè la forma (12), definita e positiva, rappresenti il quadrato dell'elemento 

 lineare di una superficie rigata su cui le v siano le asintotiche rettilinee, sono 



W- = ' ^ lo ^^- K + 2 ^2^= 0 - 



ove K è la curvatura della forma. La seconda condizione risulta subito da una delle 

 due note forinole di Codazzi, oppare da alcune forinole che servono a risolvere una que- 

 stione più generale. Cfr. M. Picone, Sulle superficie flessibili ed inestendibili in rigate, 

 pag. 29, Annali di mat., tomo XXII, 1914. 



( 2 ) Cfr. L. Bianchi, Lezioni di geometria differenziale, 2 a ed., voi. I, §§ 85 e 92, 

 forinole (4*) e (18). 



