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ove si è posto 



(17) ó = f/EG — F 2 , J == j/ED" 2 — 4FD'D" -f- 4GD 7 * . 



Le asintotiche C sono anch'esse rette, solo quando è nullo il secondo 

 membro della espressione (16) di a; ed allora R è una quadrica. Esclu- 

 dendo questo caso, sarà a =^ 0 ; e sarà pure 1 ={= 0 , altrimenti le C sareb- 

 bero curve piane, e la R sarebbe sviluppabile (inviluppo dei piani delle C), 

 contro l' ipotesi. È dunque lecito di imporre alle asintotiche C di soddisfare 

 la (11), il che equivale ad imporre alla R di appartenere ad una congruenza 

 lineare ( l ). 



Ora, lungo un'asintotica C si ha, per la (15), 



quindi 



du = — ~ )i dv , ds = dv , 



ds ds 7>u 1 ds 1>v ds* v 



ove Sì è l'operatore lineare 



(18) £ = ^(2D' — — D"— ) ; 



v ' J \ 1v W 



dunque le derivate t , t" della torsione t di C rispetto al suo arco s val- 

 gono, per la seconda delle (16), 



a» ,'=*(!) , 



Per le (16) e (19), il primo membro della (11) si muta nella seguente 

 funzione <p di u , v : 



(20) f HfHfH[*(f)J+^f , 



{ ' 9 _,D' 5 t ~ò /FD" — 2GD'\ D /2FD' — ED"\) 2_r 

 16 ^i^( 2 ) + ^ )j 



Pel teorema del § 2, essa deve ridursi ad una costante lungo ogni asinto- 

 tica C : quindi dev'essere Sì(g>) = 0 . Dunque : la condizione necessaria e 

 sufficiente affinchè una superficie rigata R (non sviluppabile, ne quadrica), 



(') Poiché le superficie rigate di una congruenza lineare hanno la proprietà carat- 

 teristica, che ogni loro asintotica appartiene ad un complesso lineare. Cfr. Picard, Traité 

 d'analyse, tom. I, cap. XII, § 29. 



