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Il Socio Battaglini legge una Nota: Sui complessi di secondo grado. 



■ « Un complesso di rette è definito analiticamente da una equazione fra le coor- 

 dinate della retta, considerata come luogo di punti o come inviluppo di piani; il 

 grado di questa equazione è l'ordine del cono, luogo di tutte le rette del complesso 

 che passano per un punto arbitrario, e la classe della curva inviluppo di tutte le 

 rette del complesso situate in un piano arbitrario. Se però viceversa si ha un sistema 

 di rette tale che per ogni punto dello spazio sia definito completamente un cono 

 d'ordine n, luogo delle rette del sistema che passano per quel punto, o, ciò che vale 

 lo stesso, per ogni piano dello spazio sia definita completamente una curva della 

 classe n, inviluppo delle rette del sistema situate in quel piano, tutte le rette del 

 sistema non apparterranno in generale ad un solo complesso di grado n ma quei 

 luoghi di rette di ordine n, e quegli inviluppi di rette di classe n, si potranno in- 

 tendere distribuiti fra infiniti complessi di grado n. La rappresentazione analitica 

 più generale del sistema proposto sarà data da una equazione che contenga oltre 

 delle coordinate della retta, le coordinate del punto o del piano, la quale potrebbe dirsi 

 equazione di un connesso di punti e di rette, o di piani e di rette, estendendo il concetto 

 di connesso, introdotto da Clebsch nella geometria analitica: in un tale connesso ad 

 ogni punto, o ad ogni piano, dello spazio corrisponde un complesso di rette, ed i 

 coni o le curve di questi complessi, che corrispondono a quei punti, od a quei piani 

 dello spazio saranno i luoghi e gli inviluppi di rette appartenenti al sistema pro- 

 posto. — . Un esempio molto, semplice di un simile sistema di rette, suggeritomi dal 

 chiarissimo collega il prof. Valentino Corrati, si ha considerando i coni di 2° grado 

 ehe passano per cinque punti dati, o le linee di 2° grado che toccano cinque piani 

 dati; la discussione di questo sistema di rette forma l'oggetto di questa breve Nota. 



« Considerando da principio i coni di 2° grado assoggettati a passare per quattro 

 punti dati, e le linee di 2° grado assoggettate a toccare quattro piani dati (che 

 prendo per i vertici e le facce del tetraedro fondamentale cui riferisco il sistema), 

 si ha che i lati di questi coni di 2° ordine, e le tangenti di queste linee di 2 a classe co- 

 stituiscono il così detto complesso di 2° gi'^o tetraedrale, ogni retta del quale complesso 

 determina con le facce, o con i vertici, del tetraedro fondamentale un gruppo di quattro 

 punti o di quattro piani in dati rapporti anarmonici; variando questi rapporti anar- 

 monici si ha una serie di complessi tetraedrali, nei quali i coni di 2° ordine corri- 

 spondenti ad un punto hanno in comune le congiungenti di questo punto con i 

 vertici del tetraedro, e le linee di 2 a classe corrispondenti ad un piano hanno per 

 tangenti comuni le intersezioni di questo piano con le facce del tetraedro. Fra questi 

 complessi tetraedrali si possono intendere distribuiti i coni di 2° ordine che passano 

 per i vertici del tetraedro e per un quinto punto dato, e le linee di 2 a classe che 

 toccano le facce del tetraedro ed un quinto piano dato; per ciascun complesso te- 

 traedrale i vertici di coni di 2° ordine del sistema apparterranno ad un cono di 

 2° ordine che ha per vertice il quinto punto dato, ed i piani delle linee di 2 a classe 

 del sistema toccheranno una linea di 2 a classe situata nel quinto piano dato. 



« Le formolo adoperate in questa Nota mi hanno condotto facilmente all'equazione 

 del luogo dei vertici dei coni di 2° ordine che passano per sei punti dati, che è 

 una superficie di quarto ordine, alla quale appartengono le quindici rette determinate 



