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cubica generata mediante questi due fasci coincide colla proposta, perchè ha comuni 

 con essa 2 x 2 -+- 6 punti. 



« 2. Se Ai A 2 A 3 A. 4 A 3 A 6 A 7 sono i sette punti dati nel nostro problema, si 

 tratta di trovare un punto A tale che il rapporto anarmonico delle quattro coniche 

 A Ai A 2 A 3 (A 4 , A 3 , A 6 , A 7 ) sia eguale a quello de'quattro raggi A (A 4 , A s , A 6 , A 7 ); 

 allora il luogo de'punti A sarà la cercata Jacobiana. 



«I punti Ai pei quali i quattro raggi Ai (A 4 , A s , A 6 , A 7 ) hanno un dato rap- 

 porto anarmonico k giacciono in una conica B A , che passa pei punti A 4 , A 3 , A 6 , A 7 . 

 1 punti Ai pei quali il rapporto anarmonico delle quattro coniche A 2 Ai A 2 A 3 (A 4 , 

 A 5 , A c , A 7 ) ha lo stesso valore k sono in una certa curva, che ora determineremo. 

 A quest' uopo si stabilisca una trasformazione quadratica i cui punti fondamentali nel 

 dato piano siano AiA 2 A 3 . In questa trasformazione, alle coniche per Ai A 2 A 3 corri- 

 spondono rette ed ai punti A 4 , A 3 , A G , A 7 certi punti A' 4 , A r 3 , A' 6 , A' 7 . Alle quattro 

 coniche A 2 AiA 2 A 3 (A 4 ,A 3 , A 0 ,A 7 ) conispondono quattro rette le quali passano 

 risp. per A' 4 , A' s , A' e , A' 7 , convergono nel punto A\ corrispondente a A 2 , ed hanno 

 il rapporto anarmonico k. In virtù di quest' ultima condizione, il luogo di A' 2 è una 

 certa conica per A' 4 A' 3 A' G A' 7 , alla quale nel piano dato corrisponderà una curva 

 di 4° ordine coi punti doppi Ai A 2 A 3 e coi punti semplici A 4 A 3 A 6 A 7 . Dicasi D k 

 questa curva. Dunque: dati in un piano tre punti Ai A 2 A 3 e quattro altri A 4 A s 

 A 6 A 7 , il luogo di un punto A 2 pel quale il rapporto anarmonico delle quattro co- 

 niche A 2 Ai A 2 A 3 (A 4 , A s , A c , A 7 ) abbia un dato valore è k una determinata curva 

 D A , che passa due volte per ciascuno de'punti Ai A 2 A 3 ed una volta per A 4 A s A 6 A 7 . 



« 3. Se ora si fa percorrere "a k tutta la serie de' valori numerici, si ottiene 

 un numero infinito di coniche B> per A 4 A 3 A 6 A 7 , ossia un fascio di coniche, le 

 quali corrispondono univocamente ai valori di k. Così pure nasce un fascio di curve 

 di 4° ordine D A la cui base è costituita dai punti doppi Ai A 2 A 3 e dai punti semplici 

 A 4 A 3 A 6 A 7 . Assunte come corrispondenti due curve B A , D k relative ad uno stesso 

 valore k, i fasci delle B k , D A risultano projettivi. Siccome poi ogni punto comune a 

 due curve corrispondenti B /( , D A è uno de' richiesti punti A, così la curva generata 

 dai fasci delle B /( , D A è la Jacobiana della rete proposta. La curva generata dai 

 due fasci è del 6" ordine e per essa sono doppi i punti Ai A 2 A 3 , perchè punti doppi 

 comuni alle D, £ , e sono pur doppi i punti A 4 A 5 A 6 A 7 , perchè questi sono punti- 

 base comuni ai due fasci. 



« 4. Le tangenti della Jacobiana A in uno de'punti doppi A, per es. in A 4 , 

 sono i raggi uniti di due fasci projettivi, l'uno di tangenti alle B A , l'altro di tan- 

 genti alle Di'. Sia t, t uno di quei raggi uniti; dalla considerazione del punto ^ 4 in 

 esso situato ed infinitamente vicino ad A 4 , risulta l'eguaglianza del rapporto anarmonico 

 delle quattro coniche X 4 Ai A 2 A 3 (A 4 , A 3 , A 3 , A 7 ) e di quello dei quattro raggi 

 X 4 (A 4 , A 3 , A 6 , A 7 ) ; infatti le due curve D, e B A , che toccano f 4 in A 4 , corrispon- 

 dono allo stesso valore di k. D'altra parte segue che il fascio di raggi A, 4 e il fascio 

 di coniche X 4 A^A 2 A 3 , i quali sono projettivi (essendo corrispondenti i raggi e le 

 coniche che passano per A 4 , A 3 , A c , A 7 ), generano quella curva di 3° ordine che passa 



per Ai A 7 ed ha un punto doppio in A 4 , e che perciò tocca in A 4 la retta h. 



« Consideriamo ora uno de'punti Ai A 2 A 3 , per es. A a . Le tangenti della Jacobiana 



