— 78 — 



« 1. Nella Nota Su una congruenza di rette di 2° ordine e di 4 a classe 

 sono stati esaminati vari spezzamenti della curva nodale K e di una rete E 

 di quadriche, nell'ipotesi che le superficie della rete non avessero in comune 

 alcuna linea, e che le polarità dovute ad esse non ammettessero alcuna coppia 

 di elementi corrispondenti in comune. 



« Oltre gli spezamenti esaminati ve ne è un altro solo possibile nelle 

 ipotesi anzidette, ed è quello in cui la curva nodale della rete R si scinde 

 in due cubiche gobbe K 3 , K' 3 aventi quattro punti in comune. 



« Se tale spezzamento si verifica, nell'involuzione di 3° grado I dello spazio 

 costituita dalle coppie di punti reciproci rispetto alle superficie della rete, non 

 potranno essere a due a due coniugate fra loro le corde di ciascuna di queste 

 due linee che risultano fondamentali per la I ; ma alle corde dell'una linea do- 

 vranno essere coniugate le corde dell'altra, perchè se si corrispondessero nella I 

 due corde della K 3 , uno qualunque dei quattro punti di appoggio delle due 

 corde con la curva avrebbe per corrispondente nella I una retta trisecante 

 della K' 3 situata nel piano degli altri tre punti (Nota cit. § 1) il che è as- 

 surdo. Ne segue che alle tangenti t n , t' n delle K 3 , K' 3 in uno qualunque A„ 

 dei quattro punti Ai , ... A 4 comuni alle due linee, corrisponderanno nella I 

 due corde c' n , c„ delle K' 3 , K 3 e i due tetraedri che hanno per vertici l'uno 

 i punti comuni alle K 3 , t n ed alle K' 3 , c'n, l'altro i punti comuni alle K 3 , c n 

 ed alle K' 3 , t' n saranno autoreciproci il primo rispetto alle quadriche di un 

 fascio (f della R, l'altro rispetto alle quadriche di un secondo fascio <f della 

 stessa R. E siccome in ciascuno dei tetraedri accennati due vertici coincidono 

 in A„ , perciò i due fasci saranno costituiti rispettivamente l'uno da quadriche 

 tangenti in A n al piano k n c ' n , l'altro da quadriche tangenti nello stesso punto 

 al piano A n c n , sicché le quadriche della rete R saranno tangenti in k n alla 

 retta a n comune ai piani accennati. 



« Resta con ciò dimostrato che per lo spezzamento della curva nodale K c 

 di una rete R di quadriche in due cubiche gobbe, è necessario che gli otto 

 punti base della rete R si distribuiscano in quattro coppie ciascuna costituita 

 da due punti infinitamente vicini. 



« Inversamente è agevole riconoscere che questa condizione è anche suf- 

 ficiente per lo spezzamento in questione. 



« Si noti infatti da prima che presi ad arbitrio sei punti Pi , ... P 6 nello 

 spazio, le coppie di punti che con i precedenti formano gruppi base di reti 

 di quadriche, costituiscono un'involuzione di 7° grado l n ('), nella quale cor- 

 risponde per intero ad ogni suo punto la 0 3 = P 1 ..P 6 ed una qualunque 

 delle rette r\ , .... r ìs che uniscono a due a due i punti Pi , ... P 6 . Nella I 7 

 risultano unite le corde della C 3 anzidetta e la superficie punteggiata unita 



(i) Vegg. Geiser, Ueber zweì geometrische Probleme. Giornale di Creile, voi. LXVII; 

 e Reye, Geometria di posizione. Parte 2 a , lezione 30 a . 



