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ai, a m , a„ nei punti A;, A m , A n rispettivamente (per i, l, ni, n = 1, 2, 3, 4 

 in qualunque ordine). 



« Di più per la proprietà già dimostrata che il coniugato armonico del 

 punto A,- rispetto ai punti B t , B'j trovasi sul piano «; = Ai A m A„ , si ha 

 che in una qualunque trasformazione birazionale (3, 3) fra due sistemi dello 

 spazio che ai piani dell'un sistema faccia corrispondere nell'altro sistema 

 delle Q> 3 = (A, ... A 4 ) 2 [o delle <P' 3 = (A' ... A' 4 ) 2 ] alle cubiche K 3 , K' 3 linee 

 nodali della rete R corrispondono due rette k , lì si fatte che sulla retta di 

 della stella (A',) appoggiata alle k, H i due punti di sezione con tali rette 

 sono separati armonicamente dal punto A' ; e dal punto di sezione della di 

 col piano di = A'i A' m A' n , sicché le k, k' appartengono ad una quadrica 

 S' 2 , rispetto alla quale il tetraedro A\ A' 2 A' 3 A' 4 è autoreciproco, e corri- 

 spondentemente le K 3 , K' 3 appartengono ad una S 6 = (Ai ... A 4 ) 4 che passa 

 due volte per gli spigoli del tetraedro A! A 2 A 3 A 4 ed è coniugata a se stessa 

 nelle quattro omologie armoniche che hanno per contri i vertici di tale te- 

 traedro e per piani assiali le faccie rispettivamente opposte di esso. 



« E dalla proprietà già dimostrata che ogni tetraedro autoreciproco ri- 

 spetto alle quadriche di un fascio della rete R, la cui curva nodale si scinda 

 in due cubiche K 3 , K' 3 , ha due vertici su ciascuna di tali linee, si deduce 

 che la congruenza costituita dalle generatrici dei coni della rete si spezza 

 nel caso in quistione in due congruenze Q 2;6 , Q' 2 , 6 entrambe di egual tipo, di 

 2° ordine cioè e di 6 a classe, costituite ciascuna da le generatrici di oo 1 coni 

 quadrici aventi i vertici su una (K 3 o K' 3 ) delle curve nodali e passanti per 

 i punti A x , ... A 4 nei quali toccano le rette a\ , ... a 4 rispettivamente. 



« Uno qualunque dei punti Ai , ... A 4 è vertice di due coni di ciascuna 

 delle Q, Q' ; l'uno è il cono della rete R, l'altro è quello che proietta la 

 linea singolare della congruenza. 



« 2. Le congruenze Q 2 , 6 , Q' 2 , 6 ora ottenute appartengono ciascuna ad, un 

 complesso tetraedrale i cai punti singolari sono A, , ... A 4 . 



" Si consideri infatti il complesso tetraedrale r che contiene le stelle 

 di rette (Aj), .... (A 4 ) e la congruenza Q 1>2 che ha per direttrici la retta a x 

 e la conica y 2 = A 2 A 3 A 4 sezione del piano «i = A 2 A 3 A 4 col cono % 2 che 

 proietta da Ai la linea singolare K 3 della Q 2 , 6 - 



« 11 cono del complesso che ha per vertice un qualunque punto P dello 

 spazio, sega la retta a x , oltre che in Ai, nel punto di sezione con il raggio /' 

 della Qi )2 anzidetta uscente da P, sicché se questo punto si trova sul cono 

 X 2 ora indicato, il raggio r appartiene al cono % 2 e i due punti di sezione 

 del cono^del complesso di vertice P con la a Y coincidono in Ai. Ne segue che 

 i coni del complesso r che hanno i vertici sulla K 3 , passano per i punti 

 Ai , ... A 4 e nel primo di questi punti toccano la retta ci\ , sicché coincidono 

 con i coni della Q 2)6 , e ne segue il teorema. 



« E pel fatto che i coni indicati sono del pari tangenti alle a 2 , a 3 , a^ 



