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V. 



/ teoremi di Cosserat. 



* Passiamo ora a risolvere il problema: Quali sono le superficie, 

 che possono flettersi in guisa da conservare coniugato un 

 sistema attualmente coniugato (u, v) ? 



« Mantenendo le solite notazioni, sarà D' = 0 e fra D, D" sussisteranno 

 le relazioni di Codazzi 



(8) ( ^ < 2 ' * 1 * 



l ^ + nr Ur 



« Dopo la deformazione supposta, è ancora D' = 0 e dovendo conservarsi, 

 pel teorema di Gauss, invariato il prodotto DD", potremo indicare con 



D" 



*»• X 



i nuovi valori di D, D" , che dovranno nuovamente soddisfare le (8). Tenendo 

 presenti le (8) stesse, troviamo così per la funzione incognita A le due 

 equazioni 



W (22) D /l \ ^_(11)P:Y 3 _1\ 

 ìu ~(1 ) D"U / ' ~òv \ 2 )D \ lì' 



« Osservando le (A) e cangiando la funzione incognita l col porre 



l* = 1 rh - ■ 

 i' 



queste si trasformano nelle altre 



v ~òu ( 2 j v ' ' >y \ 1 y 



« Ogni soluzione r delle (9) dà una soluzione del nostro problema ed 

 inversamente ; ma, perchè esse sono lineari in r, non possono ammettere più 

 di una soluzione, senza essere illimitatamente integrabili ed ammetterne 

 quindi infinite. In quest'ultimo caso si avrà 



U2)' (12)' 



_ < ^ j (12/(12/ 

 Du T>v " \ 1 M 2 ) 



e conseguentemente ( ! ) le linee sferiche (w, y) sono le immagini delle assir,- 



(i) Veggasi la mia Memoria nel tomo Vili, 1890. degli Annali di Matematica p. 320. 



