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sull'altra quel sistema coniugato, che si conserva coniugato 

 dopo la corrispondente deformazione ( x ), 



« Questi risultati conducono poi immediatamente a stabilire il teorema : 

 « Affinchè un sistema coniugato tracciato sopra una su- 

 perficie S si mantenga tale in una deformazione infinitesima 

 della superficie è necessario e sufficiente che la sua imma- 

 gine sferica, fatta al modo di Gauss, sia anche l'immagine 

 delle assintotiche di una superficie S. Le due superficie S, S 

 sono allora associate nella deformazione domandata. 



« In particolare se il sistema coniugato è quello delle linee di curva- 

 tura, la condizione si riduce a questo che l'immagine sferica sia formata da 

 un sistema ortogonale isotermo e si ritrova così il risultato stabilito da Wein- 

 ?arten nella Nota ultimamente citata. 



IV. 



Forinole di rappresentazione sferica. 



a Dalle deformazioni infinitesime passando ora a considerare le deforma- 

 zioni finite, che conservano coniugato un dato sistema, dimostreremo gli ele- 

 ganti risultati del sig. Cosserat ( 2 ). 



« Perciò conviene premettere alcune semplici formole relative alla rap- 

 presentazione sferica di un sistema coniugato (u, v) sopra una superficie S. 

 Essendo 



da 2 = edu 2 + 2 f du dv + g dv~ 



l'espressione dell'elemento lineare sferico rappresentativo, l'ipotesi che il si- 

 stema (u, v) sia coniugato sulla S si traduce nelle formole fondamentali 



(7) — — — — f— \ — — u(f— — —\ 



e nelle analoghe per ij, s, ove X, fi sono due funzioni legate a D, D" dalle 

 relazioni 



jy = -X(eg-r) D" = (i(eg — /*) . 



- Ora, se indichiamo con [ 7 * \ i simboli di Christoffel relativi all'ele- 



( * ) 



(') Se la forma 



tfdit* + 2 D' du dv + D" dv" 

 e definita, cioè se la S è a curvatura positiva, il sistema coniugato, che nella deforma- 

 zione si conserva coniugato, è certamente reale, dunque: 



Ogni superficie associata di una superficie a curvatura positiva è 

 a curvatura negativa. 



( 2 ) Comptes Eendus de l'Académie, 12 et 19 octobre 1891. 



