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cioè l'invariante simultaneo delle due forme differenziali 



D du 2 4- 2D' du dv + D" dv 2 , Ddu 2 4- 2D' dd dv + D" rfy 2 



è nullo. Le due superfìcie S, S si corrispondono punto per punto per paral- 

 lelismo delle normali e il significato geometrico della (6) consiste visibil- 

 mente in ciò che alle linee assintotiche dell'una superficie corrisponde sull'altra 

 un sistema di linee a tangenti coniugate. Questa relazione geometrica è carat- 

 teristica delle coppie di superficie qui considerate, come si dimostra risalendo 

 dalla (6) alla (4). Se diciamo adunque associate due superficie, che si cor- 

 rispondano punto a punto per parallelismo delle normali, quando alle linee 

 assintotiche della prima corrisponda sulla seconda un sistema coniugato (il 

 che porta inversamente che alle linee assintotiche della seconda corrisponde 

 un sistema coniugato sulla prima) abbiamo il risultato: 



«In ogni coppia di superficie associate S, S la distanza 

 del piano tangente dell'una superficie dall'origine, è fun- 

 zione caratteristica di una deformazione infinitesima del- 

 l'altra. 



III. 



Sistema coniugato che si conserva nella deformazione. 



« Ricerchiamo ora quel sistema coniugato che dopo la deformazione infi- 

 nitesima considerata della S si conserva coniugato. Esso si otterrà integrando 



du 



l'equazione differenziale di 1° ordine e di 2° grado in —, che risulta egua- 

 gliando a zero il Jacobiano delle due forme differenziali quadratiche 



Ddu 2 -h 2B'du dv 4- D"dv 2 

 (D + JD) du 2 4- 2 (D' -f - SD') du dv 4- (D" -+- SD") do 2 . 



« Osservando le (5) troviamo subito per questa equazione 



(<f\i 4- ey) du 2 4- 2 ((/ ì2 4- ftp) du dv 4- 22 4- gq>) dv 2 = 0 , 



ovvero 



D du 2 4 2D' du dv + D" dv 2 = 0 , 



che per la superficie associata S rappresenta l'equazione differenziale delle 

 assintotiche. Ne segue: 



«In ogni coppia di superficie associate in una deforma- 

 zione infinitesima, alle assintotiche dell'una corrispond e 



