è il parametro differenziale primo della xp calcolato rispetto all'elemento 

 lineare 



dsn — du 2 -+- 2 cos 2w n du dv -+- dv 2 

 della superficie S„ . Per note proprietà dell'equazione delle geodetiche (') 

 segue che l'equazione in termini riniti delle geodetiche sulle S n è data da 



= C r . Abbiamo dunque il teorema che si voleva stabilire: 1/ equa- 



zione in termini finiti delle geodetiche sulla S„ è dalla 

 relazione 



ove C è una nuova costante arbitraria. 



VI. 



Esempio. 



« Partiamo dalla soluzione evidente w —o della (2) e prendendo 



x=o y — o 3 = u~hv 



X = cos (u — v) , Y = sen (u — v) , Z — o 

 X' = — sen (u — v) , Y' = cos (u — v) , Z' = o 

 X" = o , Y" = o , Z" = 1 , 



risulteranno soddisfatte le (3) (4) ; potremo quindi applicare il metodo gene- 

 rale anche in questo caso, ove soltanto si presenta la particolarità che la su- 

 perfìcie iniziale S si riduce all'asse &. Le equazioni (13) danno qui per l'in- 

 tegrale generale 



w „ ti I d I sen o* (it — v) , ~ 



tang ^ = e a , con a = H- C ; 



° 2 cos <r 



sostituendo nelle (5) vediamo che le superficie derivate sono elicoidi del Dini, 

 aventi cioè per profilo meridiano una trattrice che ha l'asse dell'elicoide per 

 assintoto. Nel caso particolare e — o si ha la pseudosfera. 

 « Se prendiamo una particolare elicoide 



ti>i «i u — f— v — f— sen a (u — v) '<■ 

 twgj-e — + C l5 



avremo, per la (14), la trasformata generica di Bàcklund della S! colla tra- 

 sformazione B<j dalla formola 



P. C0S 



\ 2 / e — e 



(16) tang - = • 



2 (<fi — o\ l-+-e a+a ' 

 sen 1 — » 



m 1 



( J ) Vedi p. e. Darboux Lerons T. II, pag. 429. 



