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« Ottenuta questa formola complementare, è del resto facile verificarla 

 direttamente; ciò si ottiene derivando le (18) rapporto a e e confrontando 

 le formole così ottenute con quelle che definiscono fì. 



« Indipendentemente dagli esempi effettivi che si daranno nell'ultimo 

 paragrafo, osserveremo che il teorema dimostrato circoscrive esattamente il 

 campo delle funzioni, che si presentano nella applicazione successiva ed illi- 

 mitata delle trasformazioni di Bàcklund, partendo da una determinata super- 

 ficie pseudosferica. Tale campo è infatti perfettamente definito dalla prima 

 equazione del tipo di Kiccati che si incontra nell'applicazione del metodo ('). 

 Le successive equazioni di Eiccati sono tutte integrate insieme colla prima 

 e non modificano il campo stesso. 



Equazione delle geodetiche. 



« L'ulteriore teorema enunciato nella prefazione, che cioè sopra ciascuna 

 superficie S„ del gruppo derivato si può determinare l'equazione in termini 

 finiti delle linee geodetiche senza alcun calcolo d' integrazione, è una sem- 

 plice conseguenza dei risultati generali sopra esposti. E in fatti se chia- 

 miamo tìa n la soluzione dell'equazione fondamentale (2) corrispondente alla S n , 

 potremo, per quanto precede, determinare con calcoli algebrici e di deriva- 

 zione la soluzione più generale y> del sistema 

 , ~i((f> — <"„) 



~ÒU . 

 ~ò((p -h ft? w ) 



sen (tp -f- a) n ) 

 = sen (<p — «„,). 



~òv 



« Questa è una funzione <p (u, v, C) contenente una costante arbitraria C. 

 Derivando le precedenti rispetto a C e ponendo 



troviamo 



V = log-^ c 



— = COS {(f -+- W n ) , — = COS (<f — 0) n ) . 

 oli cV 



onde segue che la funzione */> contenente la costante non additiva C è un 

 integrale dell'equazione a derivate parziali 



ove 



J, ih — — r U — I -f- { I — 2 COS 2w„ > 



r sen 2 (2w n ) \\ìu ) \~}v ) ìu Dv ) 



(!) Scrivendo le (13) come un'unica equazione a differenziali totali, assumendo come 

 funzione incognita tang ^ (p ^ , si ha appunto l'equazione di Eiccati qui accennata. 



