IV. 



Applicazione successiva della trasformazione di Bàcklund. 



a Dal teorema di permutabilità discende facilmente l'altro : 

 « Se di una- sup erfi eie pseudosferica S si conoscono tutte 

 le trasformate di Bàcklund, per ogni superficie derivata si 

 potranno altresì determinare con soli calcoli algebrici e di 

 derivazione tutte le trasformate di Bàcklund. 



« Supponiamo infatti di avere integrate le equazioni generalizzate di 

 Darboux. 



no , ì(y — w) 1-4- sen a («> + «) 1 — sene . . 



(13) — - -=== sen ( w + co) , — ^ = sen ((p — w) 



v l>u cose v:r ' ~òv coso vy ' 



pel valore generico di a e di aver quindi trovato la soluzione 



(f (u, v, e, C) 



della equazione fondamentale (2) colle due costanti arbitrarie <r, C. 



« Sia Si una trasformata di Bàcklund della S corrispondente alla soluzione 

 w 1 = (f (u , v , a l } d) 

 e 2 una trasformata di S t colla trasformazione generica B^. Indicando con fi 

 la soluzione della (2) corrispondente a 2 e facendo uso delle (11) avremo 



Sen \~2~j 



queste formole ci determinerà in termini finiti le superficie 2, escluso il 

 caso che si abbia e = o 1 . 



* Ma anche per quest'ultimo caso possiamo facilmente conseguire lo stesso 

 scopo. Immaginiamo infatti che nella funzione 



si faccia convergere <r verso ti x e si assuma per C una tale funzione, del resto 

 arbitraria, di <s che C converga contemporaneamente verso Ci e in conseguenza 

 (f verso oh . Al limite per a = a 1 il 2° membro della (14) si presenta sotto 

 forma indeterminata; ma, se facciamo uso delle ordinarie regole, troviamo 



tang ( — - — ) = cos a x — H — % — 



« E poiché 6 evidentemente una nuova costante arbitraria C, 



ne risulta definita la più generale trasformata di Bàcklund della Si colla 

 trasformazione B ai mediante la formola 



che contiene appunto la nuova costante arbitraria C r . 



Rendiconti. 1892, Yol. I, 2° Sem. 2 



